v1 · padrão canônico

Workshop U2 — Otimização e Geometria Diferencial

Workshop integrado da Unidade 2: problemas que combinam Hessiana, Lagrange, TFI, TFInv, curvas, superfícies e Taylor em aplicações de engenharia.

Usado em: Cálculo 3 — Unidade 2 · USP MAT0216 · ITA MA-013

\nabla f = \lambda\nabla g\;(\text{Lagrange});\quad D = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\;(\text{Hessiana});\quad \kappa = \frac{\|\mathbf{r}'\times\mathbf{r}''\|}{\|\mathbf{r}'\|^3};\quad dS = \|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\|\,du\,dv

Workshop que une os grandes temas da Unidade 2: critério da Hessiana para extremos, multiplicadores de Lagrange com suas interpretações, curvatura de curvas e superfícies via produto vetorial, e elementos de geometria diferencial.

Problemas integrados

Problema 1 — Otimização com Hessiana e TFI

Exemplo— 1· P1 — Produção ótima com custos implícitos

Uma empresa produz $x$ unidades do produto A e $y$ do produto B. Os custos são relacionados pela equação implícita $C(x,y) = x^2+xy+y^2-100 = 0$ . Maximize o lucro $L = 4x+3y$ sujeito à restrição de custo.

Via Lagrange: $\nabla L = \lambda\nabla C$ .

$(4,3) = \lambda(2x+y, x+2y)$ .

$4 = \lambda(2x+y)$ ; $3 = \lambda(x+2y)$ .

Dividindo: $4/3 = (2x+y)/(x+2y) \Rightarrow 8x+4y = 6x+9y \Rightarrow 2x = 5y \Rightarrow x = 5y/2$ .

De $C = 0$ : $(5y/2)^2+(5y/2)y+y^2 = 100 \Rightarrow y^2(25/4+5/2+1) = 100 \Rightarrow y^2(43/4) = 100$ .

$y = \sqrt{400/43} = 20/\sqrt{43}$ ; $x = 50/\sqrt{43}$ .

$L_{\max} = 4\cdot\frac{50}{\sqrt{43}}+3\cdot\frac{20}{\sqrt{43}} = \frac{260}{\sqrt{43}}\approx 39{,}6$ .

Multiplicador: $\lambda = 4/(2x+y) = 4/(100/\sqrt{43}+20/\sqrt{43}) = 4\sqrt{43}/120 = \sqrt{43}/30$ — taxa marginal de lucro por unidade de custo.

Problema 2 — Extremos e selas: análise completa

Exemplo— 2· P2 — Função de Himmelblau — múltiplos extremos

$f(x,y) = (x^2+y-11)^2+(x+y^2-7)^2$ — função com 4 mínimos globais.

$f_x = 2(x^2+y-11)(2x)+2(x+y^2-7) = 0$ . $f_y = 2(x^2+y-11)+2(x+y^2-7)(2y) = 0$ .

Pontos onde $f = 0$ são mínimos globais (já que $f\geq 0$ ):

$x^2+y = 11$ e $x+y^2 = 7$ .

Soluções: $(3,2)$ , $(-2{,}805,\,3{,}131)$ , $(-3{,}779,\,-3{,}283)$ , $(3{,}584,\,-1{,}848)$ .

Em $(3,2)$ : $f(3,2) = (9+2-11)^2+(3+4-7)^2 = 0+0 = 0$ . $\checkmark$ Mínimo global.

Hessiana em $(3,2)$ : calcule $f_{xx} = 2(2x)^2\cdot 2+2(x^2+y-11)\cdot 2 + 2 = 4(2x)^2+...$

(Análise completa pela Hessiana numérica — este é um exemplo padrão de benchmarking em otimização numérica não-linear.)

Problema 3 — Curva e plano osculador

Exemplo— 3· P3 — Plano osculador de uma hélice

$\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, t)$ — hélice padrão. Encontre o plano osculador em $t = \pi/2$ .

Em $t=\pi/2$ : $\mathbf{r} = (0,1,\pi/2)$ .

$\mathbf{r}' = (-\sin t,\cos t,1) = (-1,0,1)$ em $t=\pi/2$ . $\|\mathbf{r}'\| = \sqrt{2}$ .

$\mathbf{r}'' = (-\cos t,-\sin t,0) = (0,-1,0)$ em $t=\pi/2$ .

$\mathbf{r}'\times\mathbf{r}'' = \begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\-1&0&1\\0&-1&0\end{vmatrix} = (0\cdot0-1\cdot(-1))\mathbf{i}-((-1)\cdot0-1\cdot0)\mathbf{j}+(-1\cdot(-1)-0\cdot0)\mathbf{k} = (1,0,1)$ .

$\mathbf{B} = (1,0,1)/\sqrt{2}$ — vetor binormal (normal ao plano osculador).

Plano osculador: passa por $(0,1,\pi/2)$ com normal $\mathbf{B} = (1,0,1)$ :

$(x-0)\cdot 1+(y-1)\cdot 0+(z-\pi/2)\cdot 1 = 0 \Rightarrow x+z = \pi/2$ .

Problema 4 — Forma quadrática e classificação de EDP

Exemplo— 4· P4 — Classificação de EDP via símbolo principal

Classifique $u_{xx}+2u_{xy}+5u_{yy}-u = 0$ .

Matriz do símbolo principal: $A = \begin{pmatrix}1&1\\1&5\end{pmatrix}$ .

$\det A = 5-1 = 4 > 0$ , e $A_{11} = 1 > 0$ : definida positiva → EDP elíptica.

Fórmula de discriminante: $\Delta = B^2 - AC = 1^2 - 1\cdot 5 = -4 < 0$ → elíptica. $\checkmark$

Forma canônica: existem coordenadas $(\xi,\eta)$ tais que a equação se escreve como $u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta}+\text{termos de 1}^{{\rm a}}\text{ ordem} = 0$ — equação de Laplace modificada.

Comportamento: soluções são suaves (analíticas se os coeficientes são analíticos), satisfazem o princípio do máximo, e o problema de Dirichlet está bem-posto.

Conceito	Resultado central	Aplicação típica
Pontos críticos	$\nabla f = 0$	Extremos livres
Hessiana	$D = f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$	Classificação mín/máx/sela
Weierstrass	Contínua em compacto $\Rightarrow$ atinge max e min	Extremos globais
Lagrange	$\nabla f = \lambda\nabla g$ na fronteira	Extremos condicionados
TFI/TFInv	Jacobiano invertível $\Rightarrow$ inversibilidade local	Sistemas implícitos
Frenet-Serret	$\kappa$ , $\tau$ , triedro $(T,N,B)$	Trajetórias, dinâmica
Superfícies	$dS = \\|\mathbf{r}_u\times\mathbf{r}_v\\|$	Área, curvatura, integrais
Taylor $\mathbb{R}^n$	$f\approx f(\mathbf{a})+\nabla f\cdot\mathbf{h}+\frac{1}{2}\mathbf{h}^TH\mathbf{h}$	Aproximação local, erro

Para continuar

Stewart, J. — Cálculo, vol. 2, §14.7–14.8 — Cengage, 8ª ed.
Apostol, T.M. — Calculus, vol. 2, §9.3–9.6 — Wiley, 2ª ed.
Thomas, G.B. — Cálculo, vol. 2, §13.3–14.8 — Pearson, 14ª ed.
Lima, E.L. — Análise no Espaço Rⁿ, §5–7 — IMPA, 3ª ed.
Do Carmo, M.P. — Geometria Diferencial de Curvas e Superfícies, §1–3 — SBM, 2ª ed.
Kreyszig, E. — Advanced Engineering Mathematics, §8.3, §9.7–9.8 — Wiley, 10ª ed.

Workshop U2 — Otimização e Geometria Diferencial

Problemas integrados

Problema 1 — Otimização com Hessiana e TFI

Problema 2 — Extremos e selas: análise completa

Problema 3 — Curva e plano osculador

Problema 4 — Forma quadrática e classificação de EDP

Exercícios de revisão integrada

Bloco A — Otimização combinada

Bloco B — Geometria diferencial aplicada

Bloco C — Nível ITA/USP

Síntese da Unidade 2

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