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Lição 21 — Introdução às EDPs — Classificação e Exemplos Físicos

Equações diferenciais parciais: definição, ordem, linearidade, condições de contorno, exemplos físicos (calor, onda, Laplace) e classificação em elíptica, parabólica e hiperbólica.

Used in: Cálculo 3 — Unidade 3 · USP MAT0216 · ITA MA-013

\underbrace{u_t = \kappa u_{xx}}_{\text{calor}};\quad\underbrace{u_{tt} = c^2 u_{xx}}_{\text{onda}};\quad\underbrace{u_{xx}+u_{yy} = 0}_{\text{Laplace}};\quad \Delta = B^2-4AC\begin{cases}<0\;\text{elíp.}\\=0\;\text{parab.}\\>0\;\text{hip.}\end{cases}

As três EDPs fundamentais: calor (parabólica), onda (hiperbólica) e Laplace (elíptica). O discriminante $\Delta = B^2-4AC$ do símbolo principal classifica qualquer EDP de 2ª ordem.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definições e classificação

Equação Diferencial Parcial (EDP)

Uma EDP de ordem $k$ em $u = u(x_1,\ldots,x_n)$ é uma relação: $F(x_1,\ldots,x_n, u, D^\alpha u : |\alpha|\leq k) = 0$

Linear: $\sum_{|\alpha|\leq k}a_\alpha(\mathbf{x}) D^\alpha u = f(\mathbf{x})$ .

Quasilinear: coeficientes $a_\alpha$ dependem de $u$ e derivadas de ordem $< k$ .

Totalmente não-linear: caso geral.

EDPs de 2ª ordem em R²

$A u_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+D u_x+E u_y+Fu = G$

Classificação pelo discriminante $\Delta = B^2-AC$ :

$\Delta$	Tipo	Exemplo	Problema típico
$< 0$	Elíptica	$\Delta u = 0$	Dirichlet (valor de contorno)
$= 0$	Parabólica	$u_t = \kappa u_{xx}$	Cauchy (valor inicial + contorno)
$> 0$	Hiperbólica	$u_{tt} = c^2 u_{xx}$	Cauchy (valor inicial)

A classificação pode variar de ponto a ponto para EDPs com coeficientes variáveis.

EDPs fundamentais

&u_t = \kappa\Delta u &&\text{(equação do calor/difusão)}\\ &u_{tt} = c^2\Delta u &&\text{(equação de onda)}\\ &\Delta u = 0 &&\text{(equação de Laplace)}\\ &\Delta u = f &&\text{(equação de Poisson)}\\ &u_{tt} + \omega_0^2 u = 0 &&\text{(oscilador harmônico)} \end{aligned}

Condições iniciais e de contorno

Problema de valor inicial (Cauchy): dados $u(x,0) = f(x)$ , $u_t(x,0) = g(x)$ (onda); ou $u(x,0) = f(x)$ (calor).

Problema de contorno: em domínio $\Omega$ :

Dirichlet: $u|_{\partial\Omega} = g$ (valor prescrito)
Neumann: $\partial u/\partial n|_{\partial\Omega} = h$ (fluxo prescrito)
Robin: $\alpha u + \beta\partial u/\partial n = g$ (combinação)

Exemplos resolvidos

Example— 1· Ex. 1 — Verificação de solução

Verifique que $u(x,t) = e^{-\kappa n^2\pi^2 t/L^2}\sin(n\pi x/L)$ satisfaz $u_t = \kappa u_{xx}$ com $u(0,t) = u(L,t) = 0$ .

$u_t = -\kappa n^2\pi^2/L^2\cdot u$ .

$u_x = n\pi/L\cdot e^{-\kappa n^2\pi^2 t/L^2}\cos(n\pi x/L)$ .

$u_{xx} = -(n\pi/L)^2\cdot u$ .

$\kappa u_{xx} = -\kappa n^2\pi^2/L^2\cdot u = u_t$ . $\checkmark$

$u(0,t) = e^{(\cdot)}\sin 0 = 0$ $\checkmark$ ; $u(L,t) = e^{(\cdot)}\sin(n\pi) = 0$ $\checkmark$ .

Example— 3· Ex. 3 — Princípio da superposição

Se $u_1$ e $u_2$ satisfazem $u_t = \kappa u_{xx}$ , então $u = c_1 u_1 + c_2 u_2$ também satisfaz (para qualquer $c_1, c_2$ ).

Prova: a equação é linear. $\partial_t(c_1u_1+c_2u_2) = c_1(u_1)_t + c_2(u_2)_t = c_1\kappa(u_1)_{xx} + c_2\kappa(u_2)_{xx} = \kappa(c_1u_1+c_2u_2)_{xx}$ . $\checkmark$

Consequência: a solução geral da equação do calor com condições de Dirichlet pode ser escrita como série de Fourier $u = \sum_{n=1}^\infty b_n e^{-\kappa n^2\pi^2t/L^2}\sin(n\pi x/L)$ — soma de infinitas soluções, cada uma decaindo exponencialmente.

To continue

Strauss, W.A. — Partial Differential Equations, §1.1–1.6 — Wiley, 2ª ed.
Kreyszig, E. — Advanced Engineering Mathematics, §21.1–21.4 — Wiley, 10ª ed.
Evans, L.C. — Partial Differential Equations, §1–2 — AMS, 2ª ed.
Iório, V. — EDP — Um Curso de Graduação, §1 — IMPA, 2ª ed.
Churchill, R.V. & Brown, J.W. — Fourier Series and Boundary Value Problems, §1 — McGraw-Hill, 8ª ed.

Lição 21 — Introdução às EDPs — Classificação e Exemplos Físicos

Definições e classificação

Equação Diferencial Parcial (EDP)

EDPs de 2ª ordem em R²

EDPs fundamentais

Condições iniciais e de contorno

Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Verificação e classificação

Bloco B — Exemplos físicos

Bloco C — Nível ITA/USP

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