Lição 22 — Equação de Onda em 1D — Fórmula de d'Alembert

Derivação e fórmula de d'Alembert

Mudança de variáveis características

Com $\xi = x+ct$, $\eta = x-ct$ (L21, Ex.):

$u_{\xi\eta} = 0 \Rightarrow u = F(\xi)+G(\eta) = F(x+ct)+G(x-ct)$

Solução geral: toda solução suave de $u_{tt} = c^2 u_{xx}$ escreve-se como superposição de onda direita e onda esquerda.

Problema de Cauchy no domínio infinito

$u_{tt} = c^2 u_{xx},\quad x\in\mathbb{R},\;t>0$ $u(x,0) = f(x),\quad u_t(x,0) = g(x)$

Fórmula de d'Alembert: $u(x,t) = \frac{f(x+ct)+f(x-ct)}{2}+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(s)\,ds$

Derivação: de $u = F(\xi)+G(\eta)$:

$u(x,0) = F(x)+G(x) = f(x)$;

$u_t(x,0) = cF'(x)-cG'(x) = g(x) \Rightarrow F(x)-G(x) = \frac{1}{c}\int_{x_0}^x g(s)\,ds+C$.

Resolvendo: $F(x) = \frac{f(x)}{2}+\frac{1}{2c}\int_{x_0}^x g$, $G(x) = \frac{f(x)}{2}-\frac{1}{2c}\int_{x_0}^x g$. Substituindo: fórmula de d'Alembert.

Cone de dependência

$u(x_0, t_0)$ depende apenas de $f$ e $g$ no intervalo $[x_0-ct_0, x_0+ct_0]$ — o cone de dependência da onda no ponto $(x_0,t_0)$.

Velocidade de propagação finita: perturbações viajam com velocidade exatamente $c$.

Energia conservada

$E(t) = \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}(u_t^2 + c^2u_x^2)\,dx = E(0)\quad\text{(conservação)}$