Lição 23 — Equação do Calor em 1D — Separação de Variáveis

Método de separação de variáveis

Problema modelo

$u_t = \kappa u_{xx},\quad 0<x<L,\;t>0$ $u(0,t) = u(L,t) = 0,\quad u(x,0) = f(x)$

Passo 1: Separação

Tente $u(x,t) = X(x)T(t)$:

$X T' = \kappa X'' T \Rightarrow \frac{T'}{\kappa T} = \frac{X''}{X} = -\lambda$

(constante, pois lado esquerdo depende só de $t$ e lado direito só de $x$).

Passo 2: Problema de Sturm-Liouville

$X'' + \lambda X = 0,\quad X(0) = X(L) = 0$

Soluções não-triviais existem apenas para autovalores $\lambda_n = (n\pi/L)^2$ com autofunções $X_n = \sin(n\pi x/L)$, $n = 1,2,3,\ldots$

Passo 3: Equação temporal

$T'_n = -\kappa\lambda_n T_n \Rightarrow T_n(t) = e^{-\kappa\lambda_n t} = e^{-\kappa(n\pi/L)^2 t}$

Passo 4: Superposição e coeficientes de Fourier

$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty b_n \sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\kappa(n\pi/L)^2 t}$

Com $u(x,0) = f(x)$:

$b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$

Comportamento assintótico

Para $t\to\infty$: $u\to 0$ (esfriamento). O modo dominante é $n=1$: $u\approx b_1 e^{-\kappa\pi^2 t/L^2}\sin(\pi x/L)$.

Tempo de decaimento: $\tau = L^2/(\kappa\pi^2)$ — proporcional a $L^2$ e inversamente a $\kappa$.