Lição 24 — Equação de Laplace — Funções Harmônicas e Dirichlet

Laplace em retângulo e disco

Laplace em retângulo — separação de variáveis

$\Delta u = 0$ em $(0,a)\times(0,b)$ com $u = 0$ nas três bordas e $u(x,b) = f(x)$.

$u = X(x)Y(y)$: $X''/X = -Y''/Y = -\lambda$.

Com $X(0)=X(a)=0$: $X_n = \sin(n\pi x/a)$, $\lambda_n = (n\pi/a)^2$.

$Y'' = \lambda_n Y$, $Y(0) = 0$: $Y_n = \sinh(n\pi y/a)$.

$u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\sinh\!\left(\frac{n\pi y}{a}\right)$

$b_n = \dfrac{2}{a\sinh(n\pi b/a)}\int_0^a f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{a}\right)dx$.

Laplace em disco — solução de Poisson

$\Delta u = 0$ em $r < a$, $u(a,\theta) = h(\theta)$.

Em polares $\Delta u = u_{rr}+\frac{1}{r}u_r+\frac{1}{r^2}u_{\theta\theta}$.

Separação $u = R(r)\Theta(\theta)$: $\Theta'' = -n^2\Theta$, $r^2R''+rR'-n^2R = 0$ (Euler).

Soluções: $R_n = r^n$ (regulares em $r=0$), $\Theta_n = \{1, \cos n\theta, \sin n\theta\}$.

Série de Poisson: $u(r,\theta) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty r^n\left(\frac{a_n\cos n\theta + b_n\sin n\theta}{a^n}\right)\cdot a^n$

Equivalentemente: $u = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(\frac{r}{a}\right)^n(a_n\cos n\theta+b_n\sin n\theta)$

onde $a_n,b_n$ são os coeficientes de Fourier de $h(\theta)$.

Fórmula integral de Poisson

$u(r,\theta) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{a^2-r^2}{a^2-2ar\cos(\theta-\phi)+r^2}h(\phi)\,d\phi$

(Núcleo de Poisson: $P(r,\theta-\phi) = \dfrac{a^2-r^2}{a^2-2ar\cos(\theta-\phi)+r^2}$.)

Princípio do máximo

Se $\Delta u = 0$ em $\Omega$ (domínio limitado) com $u\in C^2(\Omega)\cap C^0(\bar\Omega)$, então: $\max_{\bar\Omega} u = \max_{\partial\Omega}u\quad\text{e}\quad\min_{\bar\Omega}u = \min_{\partial\Omega}u$

Consequências: unicidade do problema de Dirichlet (L21); dependência contínua dos dados.