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Lição 25 — Método de Fourier para EDPs — Condições de Contorno

Séries de Fourier completas: senos, cossenos e série completa. Convergência pointwise e em L², coeficientes de Fourier, aplicação sistemática a EDPs com diferentes condições de contorno.

Usado em: Cálculo 3 — Unidade 3 · USP MAT0216 · ITA MA-013

f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\!\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right);\quad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx;\quad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx

A série de Fourier decompõe qualquer função integrável em modos harmônicos. Para EDPs, cada modo é multiplicado pelo fator de evolução temporal (exponencial decrescente para calor, senoidal para onda). Os coeficientes são obtidos pela ortogonalidade das funções trigonométricas.

Escolha sua porta

Notação rigorosa, derivação completa, hipóteses

Teoria das séries de Fourier

Série de Fourier numa base ortonormal

No espaço $L^2([-L,L])$ , o conjunto $\left\{\frac{1}{\sqrt{2L}},\frac{\cos(n\pi x/L)}{\sqrt{L}},\frac{\sin(n\pi x/L)}{\sqrt{L}}\right\}_{n=1}^\infty$ é uma base ortonormal completa (Hilbert).

Coeficientes de Fourier: $a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\,dx;\quad a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx;\quad b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$

Convergência

Dirichlet–Jordan: se $f$ é de variação limitada em $[-L,L]$ , então:

$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right) = \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$

(média dos limites laterais em cada ponto; igual a $f(x)$ nos pontos de continuidade).

Identidade de Parseval: $\frac{1}{2L}\int_{-L}^L [f(x)]^2\,dx = \frac{a_0^2}{4}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)$

Séries de senos e cossenos

Série de senos (extensão ímpar, $[0,L]$ ): $f(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right);\quad b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$

Série de cossenos (extensão par, $[0,L]$ ): $f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right);\quad a_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$

Tabela de escolha para EDPs

C.C. em $x$	Tipo de Fourier	Base
$u(0)=u(L)=0$ (Dirichlet)	Senos	$\sin(n\pi x/L)$
$u'(0)=u'(L)=0$ (Neumann)	Cossenos	$\cos(n\pi x/L)$ , incl. $n=0$
$u(-L)=u(L)$ , $u'(-L)=u'(L)$ (Periódica)	Completa	$\{1,\cos,\sin\}$

Exemplos resolvidos

Exemplo— 1· Ex. 1 — Série de Fourier de uma função dente-de-serra

$f(x) = x$ em $(-\pi,\pi)$ , $f(x+2\pi) = f(x)$ (periódica de período $2\pi$ ).

Já calculado na Porta "10anos": $f(x) = 2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$ .

Parseval: $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x^2\,dx = \frac{2\pi^2}{3}$ . Série: $\frac{1}{2}\sum_n(0^2+b_n^2) = \frac{1}{2}\sum\frac{4}{n^2} = 2\sum\frac{1}{n^2}$ .

Igualdade: $2\pi^2/3 = 2\sum 1/n^2 \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ — resultado de Euler via Parseval!

Exemplo— 2· Ex. 2 — Série de cossenos para função par

$f(x) = |\sin x|$ em $[0,\pi]$ — série de cossenos (extensão par).

$a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin x\,dx = \frac{4}{\pi}$ .

$a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin x\cos(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{2}\int_0^\pi[\sin((n+1)x)-\sin((n-1)x)]\,dx$ .

Para $n\neq 1$ : $a_n = \frac{1}{\pi}\left[\frac{-\cos((n+1)x)}{n+1}+\frac{\cos((n-1)x)}{n-1}\right]_0^\pi = \frac{-2[1+(-1)^n]}{\pi(n^2-1)}$ .

$a_n = 0$ para $n$ ímpar; $a_n = \frac{-4}{\pi(n^2-1)}$ para $n$ par, $n\geq 2$ .

$f(x) = |\sin x| = \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\left(\frac{\cos 2x}{3}+\frac{\cos 4x}{15}+\cdots\right)$ .

Exemplo— 3· Ex. 3 — Aplicação a EDP: onda com condição inicial geral

$u_{tt} = c^2 u_{xx}$ em $[0,L]$ com $u(0,t)=u(L,t)=0$ , $u(x,0)=f(x)$ , $u_t(x,0) = 0$ .

Separação: $u_n(x,t) = \sin(n\pi x/L)\cos(n\pi ct/L)$ .

$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi ct}{L}\right)$

com $b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin(n\pi x/L)\,dx$ (coeficientes da série de senos de $f$ ).

Interpretação: cada modo $b_n\sin(n\pi x/L)\cos(n\pi ct/L)$ é uma onda estacionária — não viaja, oscila no lugar com frequência $f_n = nc/(2L)$ (frequências naturais de uma corda).

Para continuar

Churchill, R.V. & Brown, J.W. — Fourier Series and Boundary Value Problems, §1–5 — McGraw-Hill, 8ª ed.
Strauss, W.A. — Partial Differential Equations, §5.1–5.4 — Wiley, 2ª ed.
Kreyszig, E. — Advanced Engineering Mathematics, §11.1–11.3 — Wiley, 10ª ed.
Iório, V. — EDP — Um Curso de Graduação, §2 — IMPA, 2ª ed.
Evans, L.C. — Partial Differential Equations, §4.3 — AMS, 2ª ed.

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Teoria das séries de Fourier

Série de Fourier numa base ortonormal

Convergência

Séries de senos e cossenos

Tabela de escolha para EDPs

Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Séries de Fourier

Bloco B — Aplicações às EDPs

Bloco C — Nível ITA/USP

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