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Lição 25 — Método de Fourier para EDPs — Condições de Contorno

Séries de Fourier completas: senos, cossenos e série completa. Convergência pointwise e em L², coeficientes de Fourier, aplicação sistemática a EDPs com diferentes condições de contorno.

Used in: Cálculo 3 — Unidade 3 · USP MAT0216 · ITA MA-013

f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\!\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right);\quad a_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\cos\frac{n\pi x}{L}dx;\quad b_n=\frac{1}{L}\int_{-L}^{L}f(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx

A série de Fourier decompõe qualquer função integrável em modos harmônicos. Para EDPs, cada modo é multiplicado pelo fator de evolução temporal (exponencial decrescente para calor, senoidal para onda). Os coeficientes são obtidos pela ortogonalidade das funções trigonométricas.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Teoria das séries de Fourier

Série de Fourier numa base ortonormal

No espaço $L^2([-L,L])$ , o conjunto $\left\{\frac{1}{\sqrt{2L}},\frac{\cos(n\pi x/L)}{\sqrt{L}},\frac{\sin(n\pi x/L)}{\sqrt{L}}\right\}_{n=1}^\infty$ é uma base ortonormal completa (Hilbert).

Coeficientes de Fourier: $a_0 = \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\,dx;\quad a_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx;\quad b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^L f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$

Convergência

Dirichlet–Jordan: se $f$ é de variação limitada em $[-L,L]$ , então:

$\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{L}+b_n\sin\frac{n\pi x}{L}\right) = \frac{f(x^+)+f(x^-)}{2}$

(média dos limites laterais em cada ponto; igual a $f(x)$ nos pontos de continuidade).

Identidade de Parseval: $\frac{1}{2L}\int_{-L}^L [f(x)]^2\,dx = \frac{a_0^2}{4}+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty(a_n^2+b_n^2)$

Séries de senos e cossenos

Série de senos (extensão ímpar, $[0,L]$ ): $f(x) = \sum_{n=1}^\infty b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right);\quad b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$

Série de cossenos (extensão par, $[0,L]$ ): $f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty a_n\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right);\quad a_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\cos\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx$

Tabela de escolha para EDPs

C.C. em $x$	Tipo de Fourier	Base
$u(0)=u(L)=0$ (Dirichlet)	Senos	$\sin(n\pi x/L)$
$u'(0)=u'(L)=0$ (Neumann)	Cossenos	$\cos(n\pi x/L)$ , incl. $n=0$
$u(-L)=u(L)$ , $u'(-L)=u'(L)$ (Periódica)	Completa	$\{1,\cos,\sin\}$

Exemplos resolvidos

Example— 1· Ex. 1 — Série de Fourier de uma função dente-de-serra

$f(x) = x$ em $(-\pi,\pi)$ , $f(x+2\pi) = f(x)$ (periódica de período $2\pi$ ).

Já calculado na Porta "10anos": $f(x) = 2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)$ .

Parseval: $\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi x^2\,dx = \frac{2\pi^2}{3}$ . Série: $\frac{1}{2}\sum_n(0^2+b_n^2) = \frac{1}{2}\sum\frac{4}{n^2} = 2\sum\frac{1}{n^2}$ .

Igualdade: $2\pi^2/3 = 2\sum 1/n^2 \Rightarrow \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ — resultado de Euler via Parseval!

Example— 2· Ex. 2 — Série de cossenos para função par

$f(x) = |\sin x|$ em $[0,\pi]$ — série de cossenos (extensão par).

$a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin x\,dx = \frac{4}{\pi}$ .

$a_n = \frac{2}{\pi}\int_0^\pi\sin x\cos(nx)\,dx = \frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{2}\int_0^\pi[\sin((n+1)x)-\sin((n-1)x)]\,dx$ .

Para $n\neq 1$ : $a_n = \frac{1}{\pi}\left[\frac{-\cos((n+1)x)}{n+1}+\frac{\cos((n-1)x)}{n-1}\right]_0^\pi = \frac{-2[1+(-1)^n]}{\pi(n^2-1)}$ .

$a_n = 0$ para $n$ ímpar; $a_n = \frac{-4}{\pi(n^2-1)}$ para $n$ par, $n\geq 2$ .

$f(x) = |\sin x| = \frac{2}{\pi}-\frac{4}{\pi}\left(\frac{\cos 2x}{3}+\frac{\cos 4x}{15}+\cdots\right)$ .

Example— 3· Ex. 3 — Aplicação a EDP: onda com condição inicial geral

$u_{tt} = c^2 u_{xx}$ em $[0,L]$ com $u(0,t)=u(L,t)=0$ , $u(x,0)=f(x)$ , $u_t(x,0) = 0$ .

Separação: $u_n(x,t) = \sin(n\pi x/L)\cos(n\pi ct/L)$ .

$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty b_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos\!\left(\frac{n\pi ct}{L}\right)$

com $b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin(n\pi x/L)\,dx$ (coeficientes da série de senos de $f$ ).

Interpretação: cada modo $b_n\sin(n\pi x/L)\cos(n\pi ct/L)$ é uma onda estacionária — não viaja, oscila no lugar com frequência $f_n = nc/(2L)$ (frequências naturais de uma corda).

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Churchill, R.V. & Brown, J.W. — Fourier Series and Boundary Value Problems, §1–5 — McGraw-Hill, 8ª ed.
Strauss, W.A. — Partial Differential Equations, §5.1–5.4 — Wiley, 2ª ed.
Kreyszig, E. — Advanced Engineering Mathematics, §11.1–11.3 — Wiley, 10ª ed.
Iório, V. — EDP — Um Curso de Graduação, §2 — IMPA, 2ª ed.
Evans, L.C. — Partial Differential Equations, §4.3 — AMS, 2ª ed.

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Teoria das séries de Fourier

Série de Fourier numa base ortonormal

Convergência

Séries de senos e cossenos

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Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Séries de Fourier

Bloco B — Aplicações às EDPs

Bloco C — Nível ITA/USP

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