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Lição 26 — Transformada de Fourier — Definição e Propriedades

Transformada de Fourier em L¹∩L²: definição, inversão, convolução, derivação, Plancherel, núcleo de calor e aplicações a sinais e EDPs no domínio inteiro.

Used in: Cálculo 3 — Unidade 3 · USP MAT0216 · ITA MA-013

\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\xi x}\,dx;\quad f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat{f}(\xi)e^{i\xi x}\,d\xi;\quad \widehat{f'}(\xi)=i\xi\,\hat{f}(\xi)

A transformada de Fourier converte derivadas em multiplicações por $i\xi$ , transformando EDPs em equações algébricas ou EDOs. A fórmula de inversão recupera $f$ de $\hat{f}$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição e propriedades fundamentais

Definição

Para $f\in L^1(\mathbb{R})$ : $\hat{f}(\xi) = \mathcal{F}\{f\}(\xi) = \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)e^{-i\xi x}\,dx$

(Convenção alternativa: expoente $-2\pi i\xi x$ — usada em processamento de sinais.)

Fórmula de inversão

Se $f,\hat{f}\in L^1(\mathbb{R})$ : $f(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\hat{f}(\xi)e^{i\xi x}\,d\xi\quad\text{(q.t.p.)}$

Propriedades

Propriedade	Fórmula
Linearidade	$\mathcal{F}\{af+bg\} = a\hat{f}+b\hat{g}$
Derivação	$\mathcal{F}\{f^{(n)}\}(\xi) = (i\xi)^n\hat{f}(\xi)$
Translação	$\mathcal{F}\{f(x-a)\} = e^{-ia\xi}\hat{f}(\xi)$
Modulação	$\mathcal{F}\{e^{iax}f(x)\} = \hat{f}(\xi-a)$
Escala	$\mathcal{F}\{f(ax)\} = \frac{1}{\lvert a\rvert}\hat{f}(\xi/a)$
Convolução	$\mathcal{F}\{f*g\}(\xi) = \hat{f}(\xi)\cdot\hat{g}(\xi)$
Multiplicação	$\mathcal{F}\{fg\} = \frac{1}{2\pi}\hat{f}*\hat{g}$

Plancherel

$\int_{-\infty}^{+\infty}|f(x)|^2\,dx = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}|\hat{f}(\xi)|^2\,d\xi$

Transformadas importantes

$f(x)$	$\hat{f}(\xi)$
$e^{-ax^2}$ ( $a>0$ )	$\sqrt{\pi/a}\,e^{-\xi^2/(4a)}$
$e^{-a\lvert x\rvert}$ ( $a>0$ )	$2a/(a^2+\xi^2)$
$\text{rect}(x/2L)$	$2\sin(L\xi)/\xi$
$\delta(x-a)$	$e^{-ia\xi}$
$1$	$2\pi\delta(\xi)$

Exemplos resolvidos

Example— 1· Ex. 1 — Transformada do pulso retangular

$f(x) = \begin{cases}1 & |x|\leq a\\0 & |x|>a\end{cases}$ .

$\hat{f}(\xi) = \int_{-a}^{a}e^{-i\xi x}\,dx = \left[\frac{e^{-i\xi x}}{-i\xi}\right]_{-a}^{a} = \frac{e^{-i\xi a}-e^{i\xi a}}{-i\xi} = \frac{2\sin(\xi a)}{\xi}$ .

Para $\xi=0$ : $\hat{f}(0) = 2a$ (por L'Hôpital ou direto: $\int_{-a}^a 1\,dx = 2a$ ).

Parseval: $\int_{-a}^a 1\,dx = 2a = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{4\sin^2(\xi a)}{\xi^2}\,d\xi \Rightarrow \int_0^\infty\frac{\sin^2 u}{u^2}\,du = \frac{\pi}{2}$ (integral clássica via substituição $u = \xi a$ ). $\checkmark$

Example— 2· Ex. 2 — Convolução e produto

Calcule $(f*f)(x)$ onde $f(x) = e^{-a|x|}$ , $a>0$ .

$\hat{f}(\xi) = 2a/(a^2+\xi^2)$ .

$\mathcal{F}\{f*f\} = [\hat{f}]^2 = \frac{4a^2}{(a^2+\xi^2)^2}$ .

Inversão: $\mathcal{F}^{-1}\left\{\frac{4a^2}{(a^2+\xi^2)^2}\right\} = (f*f)(x) = ?$

Usando tabela ou resíduo: $\mathcal{F}^{-1}\left\{\frac{1}{(a^2+\xi^2)^2}\right\} = \frac{x\sinh(ax)+\cosh(ax)}{?}$ ...

Mais diretamente: $(f*f)(x) = \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-a|t|}e^{-a|x-t|}\,dt = e^{-a|x|}(1+a|x|)/a$ .

(Verificação via derivação paramétrica de $\int e^{-a|t|}e^{-a|x-t|}dt$ com $a$ como parâmetro.)

Example— 3· Ex. 3 — Núcleo de calor via transformada

Resolve $u_t = \kappa u_{xx}$ em $\mathbb{R}$ , $u(x,0) = f(x)$ .

Transforme em $x$ : $\hat{u}_t = \kappa(i\xi)^2\hat{u} = -\kappa\xi^2\hat{u}$ .

EDO em $t$ : $\hat{u}(\xi,t) = \hat{f}(\xi)e^{-\kappa\xi^2 t}$ .

Inversão: $e^{-\kappa\xi^2 t} = \mathcal{F}\left\{\frac{e^{-x^2/(4\kappa t)}}{\sqrt{4\pi\kappa t}}\right\}$ .

Por convolução: $u(x,t) = f*K_t$ onde $K_t(x) = \dfrac{e^{-x^2/(4\kappa t)}}{\sqrt{4\pi\kappa t}}$ (núcleo de calor).

$u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)e^{-(x-y)^2/(4\kappa t)}\,dy$

Para $f(x) = \delta(x-x_0)$ : $u = K_t(x-x_0)$ — gaussiana que se alarga com $\sqrt{\kappa t}$ .

To continue

Strauss, W.A. — Partial Differential Equations, §12.1–12.3 — Wiley, 2ª ed.
Kreyszig, E. — Advanced Engineering Mathematics, §11.7–11.8 — Wiley, 10ª ed.
Churchill, R.V. & Brown, J.W. — Fourier Series and Boundary Value Problems, §8 — McGraw-Hill, 8ª ed.
Iório, V. — EDP — Um Curso de Graduação, §6 — IMPA, 2ª ed.
Evans, L.C. — Partial Differential Equations, §4.3 — AMS, 2ª ed.

Lição 26 — Transformada de Fourier — Definição e Propriedades

Definição e propriedades fundamentais

Definição

Fórmula de inversão

Propriedades

Plancherel

Transformadas importantes

Exemplos resolvidos

Exercícios

Bloco A — Cálculo de transformadas

Bloco B — Propriedades e aplicações

Bloco C — Nível ITA/USP

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