v1 · padrão canônico

Lição 27 — Transformada de Fourier Aplicada a EDPs

Aplicação sistemática da transformada de Fourier a EDPs no domínio inteiro: calor, onda, Laplace, Helmholtz; função de Green; princípio de Duhamel; extensão a EDPs em Rⁿ.

Used in: Cálculo 3 — Unidade 3 · USP MAT0216 · ITA MA-013

u_t = \kappa u_{xx}\xrightarrow{\mathcal{F}}\hat{u}_t = -\kappa\xi^2\hat{u};\quad u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)e^{-(x-y)^2/(4\kappa t)}dy

A transformada de Fourier converte a EDP em EDO (ou equação algébrica). Após resolver no domínio de frequências, a inversão dá a solução como convolução com a função de Green (núcleo de calor para a equação do calor).

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Método sistemático — EDPs via transformada

Protocolo geral

Tome $\mathcal{F}$ em $x$ : derivada em $x$ $\to$ multiplicação por $i\xi$ .
Resolva a EDO (ou álgebra) em $\xi$ com $t$ como parâmetro.
Inverta $\mathcal{F}^{-1}$ — tipicamente via tabela, convolução ou resíduos.

Calor em $\mathbb{R}$ : $u_t = \kappa u_{xx}$ , $u(x,0)=f(x)$

$\hat{u}_t = -\kappa\xi^2\hat{u}$ , $\hat{u}(\xi,0)=\hat{f}(\xi)$ .

$\hat{u}(\xi,t) = \hat{f}(\xi)e^{-\kappa\xi^2 t}$ .

$e^{-\kappa\xi^2 t} = \mathcal{F}\{K_t\}$ com $K_t(x) = \dfrac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}e^{-x^2/(4\kappa t)}$ .

Solução: $u = f * K_t = \dfrac{1}{\sqrt{4\pi\kappa t}}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)e^{-(x-y)^2/(4\kappa t)}\,dy$ .

Onda em $\mathbb{R}$ : $u_{tt} = c^2u_{xx}$ , $u(x,0)=f$ , $u_t(x,0)=g$

$\hat{u}_{tt} = -c^2\xi^2\hat{u}$ : equação de oscilador harmônico em $t$ .

$\hat{u}(\xi,t) = \hat{f}(\xi)\cos(c\xi t)+\hat{g}(\xi)\frac{\sin(c\xi t)}{c\xi}$ .

Inversão: $\cos(c\xi t) = \mathcal{F}[\delta(x-ct)+\delta(x+ct)]/2$ → d'Alembert novamente. $\checkmark$

Laplace em semiplano: $\Delta u = 0$ , $y>0$ , $u(x,0)=f(x)$

Transforme em $x$ : $\hat{u}_{yy} - \xi^2\hat{u} = 0$ , $\hat{u}(\xi,0)=\hat{f}(\xi)$ , $\hat{u}$ limitado para $y\to\infty$ .

$\hat{u}(\xi,y) = \hat{f}(\xi)e^{-|\xi|y}$ .

$e^{-|\xi|y} = \mathcal{F}\left\{\dfrac{y}{\pi(x^2+y^2)}\right\}$ (Núcleo de Poisson do semiplano).

Solução: $u(x,y) = \dfrac{y}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{f(t)}{(x-t)^2+y^2}\,dt$ — integral de Poisson do semiplano.

Helmholtz: $\Delta u + k^2 u = -f$

$\mathcal{F}$ em $\mathbb{R}^n$ : $(-|\xi|^2+k^2)\hat{u} = -\hat{f}$ .

$\hat{u} = \dfrac{\hat{f}}{|\xi|^2-k^2}$ — inversão via função de Green de Helmholtz (funções de Hankel em 3D).

Exemplos resolvidos

Example— 2· Ex. 2 — Equação do calor com dado inicial gaussiano

$u_t = \kappa u_{xx}$ em $\mathbb{R}$ , $u(x,0) = e^{-x^2/(4a)}$ ( $a > 0$ ).

$\hat{f}(\xi) = \sqrt{4\pi a}\,e^{-a\xi^2}$ .

$\hat{u}(\xi,t) = \sqrt{4\pi a}\,e^{-a\xi^2}e^{-\kappa\xi^2 t} = \sqrt{4\pi a}\,e^{-(a+\kappa t)\xi^2}$ .

$u(x,t) = \sqrt{\frac{a}{a+\kappa t}}\cdot e^{-x^2/(4(a+\kappa t))}$ .

Interpretação: a gaussiana se alarga de largura $\sqrt{4a}$ para $\sqrt{4(a+\kappa t)}$ — espalhamento difusivo proporcional a $\sqrt{\kappa t}$ .

Example— 3· Ex. 3 — Equação de Poisson em R via transformada

$-u'' + u = f(x)$ em $\mathbb{R}$ (equação de Helmholtz 1D com $k^2 = -1$ , i.e., equação de Poisson modificada).

Transformando: $(\xi^2+1)\hat{u} = \hat{f}$ .

$\hat{u} = \dfrac{\hat{f}}{1+\xi^2}$ .

$\mathcal{F}^{-1}\left\{\dfrac{1}{1+\xi^2}\right\} = \dfrac{e^{-|x|}}{2}$ (função de Green).

$u(x) = \dfrac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}f(y)e^{-|x-y|}\,dy = \dfrac{1}{2}\left[e^{-x}\int_{-\infty}^x f(y)e^{y}\,dy + e^{x}\int_x^{+\infty}f(y)e^{-y}\,dy\right]$ .

To continue

Strauss, W.A. — Partial Differential Equations, §12.2–12.4 — Wiley, 2ª ed.
Evans, L.C. — Partial Differential Equations, §2.3–2.4 — AMS, 2ª ed.
Kreyszig, E. — Advanced Engineering Mathematics, §11.9 — Wiley, 10ª ed.
Iório, V. — EDP — Um Curso de Graduação, §6 — IMPA, 2ª ed.
Churchill, R.V. & Brown, J.W. — Fourier Series and Boundary Value Problems, §9 — McGraw-Hill, 8ª ed.