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Lição 28 — Método das Características — Equações Hiperbólicas

Método das características para EDPs de 1ª ordem lineares e quasilineares: curvas características, descontinuidades (choques), ondas de rarefação e formação de choques em leis de conservação.

Used in: Cálculo 3 — Unidade 3 · USP MAT0216 · ITA MA-013

u_t + c(x,t,u)\,u_x = 0;\quad\frac{dx}{dt}=c,\;\frac{du}{dt}=0\;\text{(linear)};\quad t_{\text{choque}} = -\frac{1}{\min c'(f(x_0))}

As características são curvas no plano $(x,t)$ ao longo das quais $u$ é constante (caso linear). A velocidade das características é $c$ . Para equações não-lineares, características que se cruzam formam choques em tempo finito.

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Método das características — teoria completa

EDP linear de 1ª ordem

$a(x,t)u_x + b(x,t)u_t = c(x,t)u + d(x,t)$

Curvas características: $\dfrac{dx}{a} = \dfrac{dt}{b} = \dfrac{du}{cu+d}$ .

Ao longo das características, a EDP se torna um sistema de EDOs ordinário.

Equação de advecção linear: $u_t + cu_x = 0$

Características: $dx/dt = c$ (retas no plano $xt$ ), $du/dt = 0$ .

Solução: $u(x,t) = u(x-ct, 0) = f(x-ct)$ — translação da condição inicial.

Equação de Burgers invíscida: $u_t + uu_x = 0$

Características: $dx/dt = u$ (velocidade = valor de $u$ !).

Ao longo de $x(t) = x_0 + f(x_0)t$ : $u = f(x_0)$ (constante).

Formação de choque: se $f'(x_0) < 0$ para algum $x_0$ , características se cruzam em:

$t_{\text{choque}} = -\frac{1}{\min_x f'(x)}$

Depois de $t_{\text{choque}}$ , a solução clássica não existe; a solução fraca tem uma descontinuidade (choque).

Condição de Rankine-Hugoniot

Para lei de conservação $u_t + (F(u))_x = 0$ , a velocidade $s$ do choque satisfaz:

$s = \frac{F(u_R)-F(u_L)}{u_R-u_L}$

onde $u_L$ , $u_R$ são os valores à esquerda e direita do choque.

Condição de entropia (Lax)

A solução física satisfaz $F'(u_L) > s > F'(u_R)$ : as características entram no choque de ambos os lados.

Exemplos resolvidos

Example— 2· Ex. 2 — EDP de 1ª ordem quasilinear

$u_t + u^2 u_x = 0$ (Burgers cúbica), $u(x,0) = x$ .

Características: $dx/dt = u^2$ ; $du/dt = 0 \Rightarrow u = x_0$ (constante).

Então $x = x_0 + x_0^2 t$ .

Invertendo: $x_0 = x_0(x,t)$ da equação $x = x_0+x_0^2 t$ — equação quadrática em $x_0$ .

$x_0 t x_0^2 + x_0 - x = 0$ : $x_0 = \dfrac{-1\pm\sqrt{1+4tx}}{2t}$ (para $t>0$ pequeno).

Choque: $dx_0/dx = 0$ não ocorre para $f'(x_0) = 1 > 0$ (dado crescente) — as características se afastam (onda de rarefação, não choque).

To continue

Strauss, W.A. — Partial Differential Equations, §2.4 — Wiley, 2ª ed.
Evans, L.C. — Partial Differential Equations, §3.2–3.4 — AMS, 2ª ed.
Iório, V. — EDP — Um Curso de Graduação, §3.3 — IMPA, 2ª ed.
Kreyszig, E. — Advanced Engineering Mathematics, §21.6 — Wiley, 10ª ed.
LeVeque, R.J. — Numerical Methods for Conservation Laws, §2–3 — Birkhäuser, 2ª ed.