Lição 29 — Classificação Canônica das EDPs de 2ª Ordem

Classificação e redução à forma canônica

EDP de 2ª ordem em 2 variáveis

$Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_x+Eu_y+Fu = G$

Símbolo principal: $p(x,y;\xi,\eta) = A\xi^2+2B\xi\eta+C\eta^2$.

Discriminante: $\Delta = B^2-AC$.

Redução à forma canônica

A mudança $\xi = \phi(x,y)$, $\eta = \psi(x,y)$ transforma a equação. O novo coeficiente de $u_{\xi\xi}$ é $A\phi_x^2+2B\phi_x\phi_y+C\phi_y^2$.

As curvas características satisfazem: $A(dy)^2-2B(dx)(dy)+C(dx)^2 = 0$:

$\frac{dy}{dx} = \frac{B\pm\sqrt{B^2-AC}}{A}$

Hiperbólica ($\Delta>0$): duas famílias de características reais $\phi(x,y) = c_1$, $\psi(x,y) = c_2$; forma canônica $u_{\xi\eta} = h(\xi,\eta,u,u_\xi,u_\eta)$ (ou $u_{ss}-u_{tt}=h$ com $s=\xi+\eta$, $t=\xi-\eta$).

Parabólica ($\Delta=0$): uma família de características; forma canônica $u_{\eta\eta} = h$.

Elíptica ($\Delta<0$): características complexas; forma canônica $u_{\xi\xi}+u_{\eta\eta} = h$.

Casos especiais importantes

Sistemas hiperbólicos

$\mathbf{u}_t + A(x,t)\mathbf{u}_x = \mathbf{f}$: hiperbólico se $A$ tem $n$ autovalores reais distintos. Forma canônica: diagonalizar $A = PDP^{-1}$, $\mathbf{v} = P^{-1}\mathbf{u}$: $\mathbf{v}_t + D\mathbf{v}_x = \tilde{\mathbf{f}}$ ($n$ equações desacopladas de advecção).