Números Complexos e Funções Holomorfas

O Corpo $\mathbb{C}$

Definição. O corpo dos números complexos é $\mathbb{C} = \mathbb{R}^2$ munido das operações:

Identificamos $\mathbb{R} \hookrightarrow \mathbb{C}$ via $a \mapsto (a,0)$ e definimos $i := (0,1)$, de modo que $i^2 = (-1,0) = -1$.

Teorema (Fundamental da Álgebra). Todo polinômio não-constante com coeficientes em $\mathbb{C}$ tem pelo menos uma raiz em $\mathbb{C}$. Em particular, $\mathbb{C}$ é algebricamente fechado.

Derivada de Cauchy e Holomorfismo

Definição. Seja $\Omega \subset \mathbb{C}$ aberto e $f: \Omega \to \mathbb{C}$. A derivada complexa de $f$ em $z_0 \in \Omega$ é:

quando o limite existe (em $\mathbb{C}$). Dizemos que $f$ é holomorfa (ou analítica) em $\Omega$ se $f'(z)$ existe para todo $z \in \Omega$.

Teorema (Cauchy-Riemann). Seja $f = u+iv$ com $u,v: \Omega \to \mathbb{R}$. $f$ é diferenciável em $z_0 = x_0+iy_0$ se e somente se $u,v$ são diferenciáveis (no sentido real) em $(x_0,y_0)$ e satisfazem:

Corolário. Se $f$ é holomorfa em $\Omega$, então $u$ e $v$ são harmônicas em $\Omega$.

Nota: O operador $\bar{\partial} := \frac{1}{2}\left(\frac{\partial}{\partial x} + i\frac{\partial}{\partial y}\right)$ satisfaz: $f$ holomorfa $\Leftrightarrow \bar{\partial}f = 0$ (equação de Cauchy-Riemann em forma compacta).