Funções Holomorfas: Teoria Formal

Equivalência com Cauchy-Riemann

Teorema (Cauchy-Riemann — Versão Precisa). Seja $\Omega \subset \mathbb{C}$ aberto e $f = u + iv: \Omega \to \mathbb{C}$ com $u,v \in C^1(\Omega)$. Então:

A hipótese $C^1$ é essencial: existem funções que satisfazem CR em um ponto mas não são diferenciáveis ali (Looman-Menchoff: CR q.t.p. + continuidade $\Rightarrow$ holomorfia).

Operadores de Wirtinger

Introduza os operadores de Wirtinger:

Então: $f$ é holomorfa $\iff \partial_{\bar{z}}f = 0$ e nesse caso $f'(z) = \partial_z f$.

Harmônicas e Holomórfas

Teorema. Em domínio simplesmente conexo $\Omega$, a correspondência $u \mapsto f = u+iv$ (com $v$ conjugado harmônico de $u$, fixada em um ponto) é bijeção entre $C^\infty$-harmônicas e holomorfas módulo constante imaginária pura.

Prova da existência de $v$: Defina a 1-forma $\omega = -u_y\,dx + u_x\,dy$. Então $d\omega = (-u_{yy}-u_{xx})\,dx\wedge dy = 0$ pois $\Delta u=0$. Em simplesmente conexo, $\omega$ é exata: $\omega = dv$ para algum $v$, e $v_x = -u_y$, $v_y = u_x$ são exatamente CR.