Funções Elementares: Construção Rigorosa

Exponencial como Homomorfismo

Proposição. A função $\exp: (\mathbb{C},+) \to (\mathbb{C}^*,\cdot)$ é homomorfismo de grupos surjetivo com núcleo $2\pi i\mathbb{Z}$. Portanto $\mathbb{C}^* \cong \mathbb{C}/2\pi i\mathbb{Z}$ como grupos.

Logaritmo e Superfícies de Riemann

Definição rigorosa. A superfície de Riemann de $\log$ é o espaço de Riemann $\mathcal{R} = \{(z,\theta) : z \in \mathbb{C}^*, \theta \in \mathbb{R}, e^{i\theta} = z/|z|\}$, com a projeção $\pi: \mathcal{R} \to \mathbb{C}^*$, $\pi(z,\theta) = z$. O logaritmo $\log: \mathcal{R} \to \mathbb{C}$ é então uma função unívoca e holomorfa.

Ponto de ramificação: $z=0$ e $z=\infty$ são pontos de ramificação de índice infinito.

Monodromia

Ao fazer um laço fechado $\gamma$ em torno da origem, o analítico continua de $\text{Log}$ ao longo de $\gamma$ retorna ao ponto inicial com valor acrescido de $2\pi i$. O grupo de monodromia de $\log z$ em $z=0$ é $\mathbb{Z}$ (gerado pela translação por $2\pi i$).