Teoria de Cauchy: Fundamentos

Prova do Teorema de Cauchy-Goursat

Versão para triângulo (Goursat, 1900). Seja $f$ holomorfa em aberto $\Omega$ contendo o triângulo $T$. Então $\oint_{\partial T} f\,dz = 0$.

Prova (por subdivisão): Subdivida $T$ em 4 triângulos congruentes $T^{(1)},\ldots,T^{(4)}$. As contribuições dos segmentos interiores se cancelam; pela desigualdade triangular:

Iterando ($T_n$ = melhor triângulo na $n$-ésima subdivisão):

• $\text{diam}(T_n) = 2^{-n}\text{diam}(T)$, $\text{perim}(T_n) = 2^{-n}\text{perim}(T)$
• $\bigcap_n T_n = \{z_0\}$; como $f$ é diferenciável em $z_0$: $f(z) = f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\varepsilon(z)(z-z_0)$ com $\varepsilon(z)\to 0$.
• $\oint_{\partial T_n}f\,dz = \oint_{\partial T_n}\varepsilon(z)(z-z_0)\,dz$ (pois $\oint(c+az)dz=0$).
• $\left|\oint_{\partial T}f\right| \leq 4^n \cdot \max|\varepsilon| \cdot \text{diam}(T_n) \cdot \text{perim}(T_n) \to 0$.

Fórmula de Cauchy: Prova

Para $\varepsilon$ pequeno, aplique Cauchy a $g(z) = f(z)/(z-z_0)$ no anel $\{\varepsilon < |z-z_0| < r\}$:

No segundo membro, por continuidade de $f$ em $z_0$ e estimativa ML:

enquanto $f(z_0)\oint_{|z-z_0|=\varepsilon}\frac{dz}{z-z_0} = 2\pi i f(z_0)$. $\square$