Teoria das Séries — Fundamentos

Teorema da Representação em Série de Potências

Teorema. $f: D(z_0,R) \to \mathbb{C}$ é holomorfa $\iff$ $f$ é representável por série de potências $f(z) = \sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n$ em $D(z_0,R)$.

Corolário. Funções holomorfas são analíticas (iguais à sua série de Taylor). Esta equivalência falha no caso real: $e^{-1/x^2}$ é $C^\infty$ mas não analítica em $x=0$.

Princípio da Identidade (Prolongamento Analítico)

Teorema. Sejam $f,g$ holomorfas em $\Omega$ conexo. Se $f = g$ em um conjunto $S \subset \Omega$ com ponto de acumulação em $\Omega$, então $f \equiv g$ em $\Omega$.

Consequência: uma função holomorfa é completamente determinada por seus valores em qualquer subconjunto com ponto de acumulação. Isso é radicalmente diferente do caso $C^\infty$ real.

Funções Inteiras — Teorema de Weierstrass

Teorema de Hadamard. Uma função inteira $f(z) = \sum a_n z^n$ com zeros $z_1, z_2, \ldots$ (repetidos com multiplicidade) satisfaz o produto de Hadamard:

onde $g$ é polinômio, $E_p$ são fatores elementares de Weierstrass e $p$ é a ordem (rank) de $f$.