Singularidades: Teoria Formal

Teorema de Riemann: Prova

Proposição. Se $f$ é holomorfa em $0 < |z-z_0| < r$ e $\lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) = 0$, então $z_0$ é singularidade removível.

Prova. Defina $g(z) = (z-z_0)^2 f(z)$ em $0<|z-z_0|<r$ e $g(z_0)=0$. Então $g'(z_0) = \lim_{z\to z_0}(z-z_0)f(z) = 0$. Logo $g$ é holomorfa em $|z-z_0|<r$ com $g(z_0) = g'(z_0) = 0$, portanto $g(z) = (z-z_0)^2 h(z)$ com $h$ holomorfa. Então $f(z) = h(z)$ para $z \neq z_0$, e $f$ se estende holomorfamente definindo $f(z_0) = h(z_0)$.

Teorema de Casorati-Weierstrass

Se $z_0$ é singularidade essencial de $f$, então $f(D'(z_0,\varepsilon))$ é denso em $\mathbb{C}$ para todo $\varepsilon>0$. (Versão mais fraca do Teorema de Picard, mas elementar.)

Prova. Suponha que exista $w_0$ e $\varepsilon, \delta > 0$ tais que $|f(z)-w_0| > \varepsilon$ em $D'(z_0,\delta)$. Então $g(z) = 1/(f(z)-w_0)$ é holomorfa e limitada em $D'(z_0,\delta)$; por Riemann, $z_0$ é removível para $g$. Se $g(z_0)\neq 0$, então $f$ tem singularidade removível; se $g(z_0)=0$, polo — contradição com singularidade essencial.