Teorema dos Resíduos: Formulação Precisa

Formulação via Índice de Winding

Teorema dos Resíduos (geral). Seja $\Omega$ aberto em $\mathbb{C}$, $f$ meromorfa em $\Omega$ com polos $z_1,\ldots,z_n$, e $\gamma$ um ciclo em $\Omega \setminus \{z_1,\ldots,z_n\}$ homotópico a zero em $\Omega$. Então:

Resíduo como Obstáculo à Exatidão

O resíduo mede o obstáculo topológico à existência de uma primitiva: $f$ tem primitiva em $D'(z_0,r)$ $\iff$ $\text{Res}_{z=z_0}f = 0$.

Em termos de cohomologia de De Rham: $\text{Res}_{z=z_k}f = [\omega_k] \in H^1_{dR}(\mathbb{C}\setminus\{z_k\})$.

Generalização: Teorema dos Resíduos em Superfícies de Riemann

Numa superfície de Riemann compacta $M$, toda função meromorfa $f$ satisfaz:

(Esta é a forma invariante que generaliza ambos o teorema de resíduos para $\mathbb{C}$ e a identidade de soma nula na esfera de Riemann.)