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Aplicações: Integrais Reais via Resíduos

Cálculo de integrais reais impróprias pelo Teorema dos Resíduos: integrais trigonométricas, integrais sobre a reta, lema de Jordan, contornos de chave-de-fenda e somas de séries.

Used in: engenharia

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Integrais por Resíduos: Justificação Rigorosa

Lema de Jordan: Prova Completa

Lema de Jordan. Se ff é contínua no semiplano superior para ∣z∣≥R0|z| \geq R_0 e lim⁡∣z∣→∞f(z)=0\lim_{|z|\to\infty}f(z) = 0, então para m>0m > 0:

∫ΓRf(z)eimz dz→0(R→∞)\int_{\Gamma_R}f(z)e^{imz}\,dz \to 0 \quad (R\to\infty)

onde ΓR={Reiθ:0≤θ≤π}\Gamma_R = \{Re^{i\theta}: 0\leq\theta\leq\pi\}.

Prova. Seja MR=max⁡∣z∣=R,Im(z)≥0∣f(z)∣M_R = \max_{|z|=R, \text{Im}(z)\geq 0}|f(z)|. Na parametrização z=Reiθz = Re^{i\theta}:

∣∫ΓRf(z)eimz dz∣≤MRR∫0πe−mRsin⁡θ dθ≤2MRR∫0π/2e−mR⋅2θ/π dθ\left|\int_{\Gamma_R}f(z)e^{imz}\,dz\right| \leq M_R R\int_0^\pi e^{-mR\sin\theta}\,d\theta \leq 2M_R R\int_0^{\pi/2}e^{-mR\cdot 2\theta/\pi}\,d\theta

usando sin⁡θ≥2θ/π\sin\theta \geq 2\theta/\pi em [0,π/2][0,\pi/2] (desigualdade de Jordan). A integral vale π2mR(1−e−mR)≤π2mR\frac{\pi}{2mR}(1-e^{-mR}) \leq \frac{\pi}{2mR}. Portanto:

∣∫ΓRf eimz dz∣≤MR⋅πm→0\left|\int_{\Gamma_R}f\,e^{imz}\,dz\right| \leq M_R \cdot \frac{\pi}{m} \to 0

pois MR→0M_R \to 0.

Valor Principal de Cauchy

Definição. O valor principal de Cauchy de uma integral imprópria é:

V.P.∫−∞+∞f(x) dx=lim⁡R→∞∫−RRf(x) dx\text{V.P.}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)\,dx = \lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R}f(x)\,dx

Se a integral converge no sentido usual, o V.P. coincide com ela. A recíproca é falsa.

Nota: quando ff tem polos reais, a integral usual diverge mas o V.P. pode existir.

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Updated on 2026-05-28 · Author(s): Clube da Matemática

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