Mapeamentos Conformes: Teoria Formal

Teorema de Riemann: Enunciado Preciso

Teorema de Uniformização de Riemann. Todo domínio simplesmente conexo $\Omega \subsetneq \mathbb{C}$ é conformemente equivalente ao disco unitário $\mathbb{D}$. Além disso, dado $z_0 \in \Omega$, existe único biholomorfismo $f: \Omega \to \mathbb{D}$ com $f(z_0) = 0$ e $f'(z_0) > 0$.

Versão completa (Poincaré-Koebe): toda superfície de Riemann simplesmente conexa é conformemente equivalente a $\mathbb{D}$, $\mathbb{C}$ ou $\hat{\mathbb{C}}$.

Famílias Normais (Arzelà-Ascoli Complexo)

Definição. Uma família $\mathcal{F}$ de funções holomorfas em $\Omega$ é normal se de toda sequência em $\mathcal{F}$ pode-se extrair subsequência convergente uniformemente em compactos.

Critério de Montel. $\mathcal{F}$ é normal se e só se é uniformemente limitada em compactos.

Métrica de Carathéodory

A distância de Carathéodory em $\Omega$:

é a maior pseudométrica contraída por funções holomorfas $\Omega \to \mathbb{D}$. Se $\Omega$ é hiperbólico (conformemente equivalente ao disco), então $c_\Omega$ é uma métrica.