Espaços Vetoriais: Fundamentos Algébricos

Definição Formal

Definição. Um espaço vetorial sobre um corpo $\mathbb{F}$ é um conjunto não-vazio $V$ munido de operações $+: V\times V \to V$ e $\cdot: \mathbb{F}\times V \to V$ satisfazendo os 8 axiomas (A1)–(A8).

Teorema (Unicidade). O elemento neutro $\mathbf{0}$ e o inverso $-v$ são únicos.

Proposição. Em todo espaço vetorial: $0 \cdot v = \mathbf{0}$, $\alpha \cdot \mathbf{0} = \mathbf{0}$, $(-1)v = -v$.

Isomorfismo e Classificação

Teorema de Classificação. Todo espaço vetorial de dimensão finita $n$ sobre $\mathbb{F}$ é isomorfo a $\mathbb{F}^n$. Em particular, a dimensão caracteriza completamente espaços de dimensão finita sobre o mesmo corpo.

Corolário. $\mathcal{P}_n \cong \mathbb{R}^{n+1} \cong M_{1\times(n+1)}(\mathbb{R})$.

Espaços de Dimensão Infinita

Para espaços de dimensão infinita (como $C[a,b]$, $\ell^2$, $L^2$), a noção de base algébrica (base de Hamel) requer o Axioma da Escolha e é pouco construtiva. A teoria funcional usa bases de Schauder (base ortonormal no sentido de convergência de séries), que são mais naturais. Ver Unidade 1, Lição 8.