Transformações Lineares: Teoria Formal

Categoria dos Espaços Vetoriais

Os espaços vetoriais sobre $\mathbb{F}$ e as transformações lineares entre eles formam uma categoria $\mathbf{Vect}_\mathbb{F}$, com composição de morfismos dada pela composição de funções.

Esta categoria é abeliana: todo morfismo tem núcleo e conúcleo, a sequência exata curta $0 \to \ker T \to V \to \text{Im}\,T \to 0$ divide.

Dualidade e Funtor Contravariante

O funtor dual $(-)^*: \mathbf{Vect}_\mathbb{F}^{op} \to \mathbf{Vect}_\mathbb{F}$ associa a $T: V \to W$ o transposto $T^*: W^* \to V^*$, $T^*(\varphi) = \varphi \circ T$.

Propriedades: $\ker T^* = (\text{Im}\,T)^\perp$, $\text{Im}\,T^* = (\ker T)^\perp$ (em dimensão finita, com dualidade natural).

Teorema de Estrutura para Endomorfismos

Teorema (Decomposição de Jordan). Sobre $\mathbb{C}$, todo endomorfismo $T \in \text{End}(V)$ de dimensão finita é similar (na mesma base complexa) a uma matriz em forma normal de Jordan:

onde $J_n(\lambda)$ é o bloco de Jordan $n \times n$ com autovalor $\lambda$. A forma de Jordan é única a menos de ordem dos blocos.