Autovalores: Teoria Espectral

Espectro e Resolução

Definição. O espectro de $A \in M_{n\times n}(\mathbb{C})$ é $\sigma(A) = \{\lambda \in \mathbb{C}: \det(A-\lambda I) = 0\}$.

O resolvente é a função $R_A(\lambda) = (A-\lambda I)^{-1}$, definida para $\lambda \notin \sigma(A)$. É holomorfa em $\mathbb{C}\setminus\sigma(A)$ com polos nos autovalores (de ordem = multiplicidade).

Integral espectral (Dunford): $f(A) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C f(\lambda)R_A(\lambda)\,d\lambda$ para $C$ envolvendo $\sigma(A)$. Isso define o cálculo funcional — como $e^A$, $\ln A$, $A^{1/2}$.

Conexão com Análise Complexa

Os autovalores de $A$ são exatamente os polos de $\text{tr}(R_A(\lambda)) = \sum_k(\lambda_k - \lambda)^{-1}$. A soma dos resíduos em todos os polos = $n$ (dimensão do espaço).

O polinômio característico é $p_A(\lambda) = \det(A-\lambda I)$, e a identidade de Liouville diz que $\det(A-\lambda I)$ é um polinômio de grau exato $n$ em $\lambda$.