Espaços de Hilbert: Fundamentos

Definição e Completude

Definição. Um espaço de Hilbert é um espaço com produto interno completo (toda sequência de Cauchy converge).

Exemplos:

• $\mathbb{R}^n$ e $\mathbb{C}^n$ com produto interno padrão
• $\ell^2 = \{(a_n): \sum|a_n|^2 < \infty\}$ com $\langle a,b\rangle = \sum a_n\bar{b}_n$
• $L^2(\Omega)$ com $\langle f,g\rangle = \int_\Omega f\bar{g}\,d\mu$

Teorema. $C[a,b]$ com $\int f\bar{g}\,dx$ não é completo; sua completação é $L^2[a,b]$.

Base de Hilbert (Base de Schauder)

Em espaço de Hilbert separável, todo conjunto ortonormal maximal $\{e_n\}$ é base ortonormal de Hilbert: todo $v$ se expande como $\sum\langle v,e_n\rangle e_n$ com convergência na norma de $H$.

Teorema. Todo espaço de Hilbert separável é isometricamente isomorfo a $\ell^2$.