Teorema Espectral: Versão Funcional

Teorema Espectral para Operadores Compactos

Teorema. Seja $T: H \to H$ operador compacto auto-adjunto em espaço de Hilbert separável. Então existe sequência de autovalores reais $\{\lambda_n\}$ com $|\lambda_n| \to 0$ e base ortonormal $\{e_n\}$ tal que $Te_n = \lambda_n e_n$ e:

Nota: "compacto" significa que $T$ mapeia conjuntos limitados em relativamente compactos — generalização de dimensão finita.

Álgebra $C^*$

A teoria espectral moderna vive em álgebras $C^*$: álgebras de Banach completas com involução $(^*)$ satisfazendo $\|a^*a\| = \|a\|^2$. O Teorema Espectral de Gelfand-Naimark generaliza a diagonalização a operadores normais em qualquer álgebra $C^*$.