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Espaços de Hilbert e Completude

Completude de espaços métricos, espaços de Hilbert L² e ℓ², bases ortonormais, Teorema de Riesz-Fischer, desigualdade de Bessel e identidade de Parseval.

Used in: engenharia

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Espaços de Hilbert em Engenharia

Sinal de Energia Finita — L²

Todo sinal físico de energia finita pertence a $L^2(\mathbb{R})$ : $E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt < \infty$ .

A Identidade de Parseval na forma de Fourier afirma que a energia é preservada:

\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt = \int_{-\infty}^{\infty} |X(f)|^2 \, df

Isso justifica a análise espectral de energia e o conceito de densidade espectral de potência.

Decomposição de Fourier e Codificação

Séries de Fourier em L²[-π,π]: Todo sinal periódico de energia finita tem expansão:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{inx}

com convergência em norma $L^2$ (não necessariamente pontual!). Os coeficientes $c_n$ minimizam o erro quadrático médio — isso é compressão ótima em $L^2$ .

Código Python — verificar Parseval discreto:

import numpy as np

N = 64
x = np.random.randn(N)  # sinal aleatório
X = np.fft.fft(x)       # DFT

energia_tempo = np.sum(np.abs(x)**2)
energia_freq  = np.sum(np.abs(X)**2) / N  # fator 1/N da DFT

print(f"Energia (tempo): {energia_tempo:.6f}")
print(f"Energia (freq):  {energia_freq:.6f}")
print(f"Diferença relativa: {abs(energia_tempo - energia_freq)/energia_tempo:.2e}")

Filtros Lineares como Operadores em L²

Um filtro linear invariante no tempo com resposta ao impulso $h \in L^2$ define operador:

(Tx)(t) = (h * x)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(t-\tau)x(\tau)\,d\tau

que é um operador compacto auto-adjunto (se $h$ par e real) em $L^2$ . As autofunções são exatamente os exponenciais complexos $e^{i\omega t}$ com autovalores $H(\omega) = \hat{h}(\omega)$ (função de transferência).

Referência: Kreyszig, Introductory Functional Analysis with Applications, §3.1-3.6; Debnath & Mikusinski, Introduction to Hilbert Spaces, Cap. 2.

Example

Exemplo 1 — L²[0,1] e Bessel/Parseval para Fourier Seno

Base: $\{\sqrt{2}\sin(n\pi x)\}_{n=1}^\infty$ é base ortonormal de $L^2[0,1]$ .

Verificação de ortonormalidade:

\langle \sqrt{2}\sin(m\pi x), \sqrt{2}\sin(n\pi x) \rangle = 2\int_0^1 \sin(m\pi x)\sin(n\pi x)\,dx = \delta_{mn}

(usando $\int_0^1 \sin(m\pi x)\sin(n\pi x)\,dx = \frac{1}{2}\delta_{mn}$ ).

Coeficientes de $f(x) = x$ :

c_n = \langle x, \sqrt{2}\sin(n\pi x) \rangle = \sqrt{2}\int_0^1 x\sin(n\pi x)\,dx = \sqrt{2} \cdot \frac{(-1)^{n+1}}{n\pi}

Parseval:

\|x\|_{L^2}^2 = \int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3} = \sum_{n=1}^\infty |c_n|^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{n^2\pi^2} = \frac{2}{\pi^2}\cdot\frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{3} \checkmark

(usando $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$ ).

Referência: Kreyszig, Introductory Functional Analysis, §3.4; Debnath & Mikusinski, Introduction to Hilbert Spaces, §3.3.

Example

Exemplo 2 — Completude de ℓ² e Limite de Sequência de Cauchy

Claim: A sequência $x^{(n)} = (1, 1/2, \ldots, 1/n, 0, 0, \ldots) \in \ell^2$ é de Cauchy e converge para $x = (1/k)_{k \geq 1}$ .

Verificação de Cauchy: Para $m > n$ :

\|x^{(m)} - x^{(n)}\|_{\ell^2}^2 = \sum_{k=n+1}^m \frac{1}{k^2} \leq \sum_{k=n+1}^\infty \frac{1}{k^2} \to 0 \text{ quando } n \to \infty

Limite: $x = (1, 1/2, 1/3, \ldots) \in \ell^2$ pois $\sum_{k=1}^\infty 1/k^2 = \pi^2/6 < \infty$ .

Contraste: Em $\ell^2$ a sequência converge; em $c_{00}$ (sequências de suporte finito), o limite $(1/k)$ não pertence ao espaço — demonstrando que $c_{00}$ não é completo.

Referência: Kreyszig, Introductory Functional Analysis, §3.1; Axler, Linear Algebra Done Right, 3ª ed., §6C.

Example

Exemplo 3 — Projeção Ortogonal em L²

Problema: Projetar $f(x) = x^2$ sobre $M = \text{span}\{1, x\} \subset L^2[-1,1]$ .

Base ortonormal de M (Gram-Schmidt aplicado a $\{1, x\}$ em $L^2[-1,1]$ ):

e_0 = \frac{1}{\sqrt{2}}, \quad e_1 = \sqrt{\frac{3}{2}}\,x

Projeção:

P_M(x^2) = \langle x^2, e_0\rangle e_0 + \langle x^2, e_1\rangle e_1

\langle x^2, e_0 \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\int_{-1}^1 x^2\,dx = \frac{1}{\sqrt{2}}\cdot\frac{2}{3} = \frac{\sqrt{2}}{3}

\langle x^2, e_1 \rangle = \sqrt{\frac{3}{2}}\int_{-1}^1 x^3\,dx = 0 \quad (\text{integrand ímpar})

Logo $P_M(x^2) = \frac{\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{3}$ .

Erro: $\|x^2 - 1/3\|_{L^2}^2 = \int_{-1}^1 (x^2 - 1/3)^2\,dx = \frac{8}{45}$ .

Esta projeção é o melhor ajuste quadrático de $x^2$ no espaço das funções afins em $L^2[-1,1]$ .

Referência: Axler, Linear Algebra Done Right, §6C; Debnath & Mikusinski, Introduction to Hilbert Spaces, §4.1.

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Referências Bibliográficas

Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley, 1978. Caps. 3–9 (espaços de Hilbert, operadores, espectral). Referência principal para este conteúdo.
Debnath, L.; Mikusinski, P. Introduction to Hilbert Spaces with Applications, 3ª ed. Academic Press, 2005. Caps. 2–5 (teoria de Hilbert acessível).
Axler, S. Linear Algebra Done Right, 3ª ed. Springer, 2015. Cap. 6 (produto interno e Gram-Schmidt em dimensão finita).
Rudin, W. Real and Complex Analysis, 3ª ed. McGraw-Hill, 1987. Caps. 3–4 (completude de L², Parseval).
Evans, L.C. Partial Differential Equations, 2ª ed. AMS, 2010. §5.2 (espaços de Sobolev H^k e embeddings).
Reed, M.; Simon, B. Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. I: Functional Analysis. Academic Press, 1980. §II (espaços de Hilbert e operadores). Referência avançada.
Oppenheim, A.V.; Willsky, A.S. Signals and Systems, 2ª ed. Prentice Hall, 1997. §3.5 (sinal em L² e Parseval para sinais físicos).