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Teoria de Sturm-Liouville

Problemas regulares de Sturm-Liouville: auto-adjunticidade, realidade de autovalores, ortogonalidade de autofunções e completude. Aplicações a equações diferenciais parciais.

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Sturm-Liouville em Engenharia

Vibração de Viga Não-Uniforme

Uma viga com rigidez variável $EI(x)$ e densidade linear $\rho(x)$ tem modos de vibração governados por:

\frac{d^2}{dx^2}\left(EI(x)\frac{d^2 y}{dx^2}\right) = \omega^2 \rho(x) y

Para viga simplesmente apoiada (quarta ordem) ou viga com apenas flexão simples (ordem 2), o problema reduz-se a um SL. As frequências naturais $\omega_n = \sqrt{\lambda_n}$ são os autovalores, e os modos $y_n(x)$ são as autofunções.

Difusão com Condutividade Variável

A equação de difusão $u_t = \frac{1}{\rho c}(ku_x)_x$ com $k(x), \rho(x), c(x) > 0$ variáveis se separa como:

u(x,t) = \sum_n a_n e^{-\lambda_n t} \phi_n(x)

onde $\{\phi_n, \lambda_n\}$ são autofunções/autovalores de $-(k\phi_n')' = \lambda_n \rho c \phi_n$ — exatamente um problema SL com $p = k$ , $w = \rho c$ .

Cálculo Numérico de Autovalores

import numpy as np
from scipy.linalg import eigh

def sturm_liouville_fd(p_func, q_func, w_func, a, b, N):
    """
    Discretiza -( p y' )' + q y = lambda w y por diferenças finitas.
    Retorna (eigenvalues, eigenvectors) os N primeiros.
    """
    h = (b - a) / (N + 1)
    x = np.linspace(a + h, b - h, N)
    xh = np.linspace(a + h/2, b - h/2, N + 1)  # pontos médios
    
    p = p_func(xh)
    q_vals = q_func(x)
    w = w_func(x)
    
    # Matriz rigidez (tridiagonal)
    diag_main  = (p[:-1] + p[1:]) / h**2 + q_vals
    diag_upper = -p[1:-1] / h**2
    
    K = np.diag(diag_main) + np.diag(diag_upper, 1) + np.diag(diag_upper, -1)
    W = np.diag(w)
    
    return eigh(K, W, subset_by_index=[0, min(9, N-1)])

# Exemplo: -y'' = λ y em [0, π], y(0) = y(π) = 0 → λ_n = n²
vals, vecs = sturm_liouville_fd(
    p_func=lambda x: np.ones_like(x),
    q_func=lambda x: np.zeros_like(x),
    w_func=lambda x: np.ones_like(x),
    a=0, b=np.pi, N=200
)
print("Autovalores numéricos:", np.round(vals, 4))
print("Autovalores exatos:   ", [n**2 for n in range(1, len(vals)+1)])

Referência: Stakgold & Holst, Green's Functions and Boundary Value Problems, §7; Birkhoff & Rota, Ordinary Differential Equations, 4ª ed., Cap. X.

Example

Exemplo 1 — Autofunções do Problema de Fourier

Problema: $y'' + \lambda y = 0$ , $y(0) = 0$ , $y'(L) = 0$ (condição mista).

Identificação SL: $p = 1, q = 0, w = 1$ , $\alpha_1 = 1, \alpha_2 = 0$ , $\beta_1 = 0, \beta_2 = 1$ .

Solução geral (para $\lambda > 0$ ): $y = A\cos(\sqrt{\lambda}x) + B\sin(\sqrt{\lambda}x)$ .

Condição em $x=0$ : $y(0) = A = 0$ , logo $y = B\sin(\sqrt{\lambda}x)$ .

Condição em $x=L$ : $y'(L) = B\sqrt{\lambda}\cos(\sqrt{\lambda}L) = 0$ .

Para $B \neq 0$ : $\cos(\sqrt{\lambda}L) = 0 \implies \sqrt{\lambda_n}L = \frac{(2n-1)\pi}{2}$ , $n = 1,2,3,\ldots$

Autovalores e autofunções:

\lambda_n = \left(\frac{(2n-1)\pi}{2L}\right)^2, \quad y_n(x) = \sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{2L}\right)

Verificação de ortogonalidade:

\int_0^L \sin\left(\frac{(2m-1)\pi x}{2L}\right)\sin\left(\frac{(2n-1)\pi x}{2L}\right)dx = \frac{L}{2}\delta_{mn}

Referência: Strauss, Partial Differential Equations: An Introduction, 2ª ed., §5.1; Stakgold & Holst, §7.1.

Example

Exemplo 2 — Quociente de Rayleigh e Estimativa do Primeiro Autovalor

Problema: Estimar $\lambda_1$ de $-(e^x y')' = \lambda e^x y$ , $y(0) = y(1) = 0$ .

Identificação: $p = e^x, q = 0, w = e^x$ .

Quociente de Rayleigh:

R[y] = \frac{\int_0^1 e^x |y'|^2\,dx}{\int_0^1 e^x |y|^2\,dx}

Função teste: $y = x(1-x)$ (satisfaz as condições de contorno).

Numerador: $\int_0^1 e^x(1-2x)^2\,dx = e - 3 \approx 0{,}718$ .

Denominador: $\int_0^1 e^x x^2(1-x)^2\,dx \approx 0{,}0699$ .

Estimativa: $\lambda_1 \leq R[y] \approx 10{,}27$ .

Valor exato (por comparação com Fourier, $e^x \approx e^{1/2}$ ): $\lambda_1 \approx \pi^2 + 1/4 \approx 10{,}12$ — a estimativa está dentro de 1,5%.

Referência: Stakgold & Holst, Green's Functions and Boundary Value Problems, §7.4; Birkhoff & Rota, §10.2.

Example

Exemplo 3 — Expansão em Autofunções e Solução de EDP

Problema: Calor em barra com condutividade variável:

u_t = (xu_x)_x, \quad x \in (1, e), \quad u(1,t) = u(e,t) = 0

Separação de variáveis: $u = X(x)T(t)$ leva a:

T' = -\lambda T, \quad -(xX')' = \lambda X

Problema SL: $p = x, q = 0, w = 1$ . Fazendo $x = e^s$ ( $s = \ln x \in (0,1)$ ) transforma em $-Y'' = \lambda Y$ , logo:

\lambda_n = (n\pi)^2, \quad X_n(x) = \sin(n\pi \ln x)

Expansão da solução:

u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty a_n e^{-n^2\pi^2 t}\sin(n\pi\ln x)

com $a_n = \frac{2}{\|X_n\|^2}\int_1^e f(x)\sin(n\pi\ln x)\,dx$ (onde $f = u(x,0)$ ).

Referência: Haberman, Applied Partial Differential Equations, 5ª ed., §5.3; Stakgold & Holst, §7.3.

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Referências Bibliográficas

Stakgold, I.; Holst, M. Green's Functions and Boundary Value Problems, 3ª ed. Wiley, 2011. Caps. 7–8 (teoria SL, completude, funções de Green). Referência principal.
Birkhoff, G.; Rota, G.C. Ordinary Differential Equations, 4ª ed. Wiley, 1989. Cap. X (teoria de Sturm-Liouville e oscilação). Clássico rigoroso.
Haberman, R. Applied Partial Differential Equations, 5ª ed. Pearson, 2013. §§5.3–5.8 (SL aplicado a EDPs, condições de Robin, Bessel).
Strauss, W.A. Partial Differential Equations: An Introduction, 2ª ed. Wiley, 2008. §5.1–5.4 (separação de variáveis e SL).
Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley, 1978. §§9.5–9.8 (operadores compactos auto-adjuntos e espectro).
Coddington, E.A.; Levinson, N. Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill, 1955. Caps. 7–8 (SL singular, teoria de Weyl). Referência avançada.
Titchmarsh, E.C. Eigenfunction Expansions Associated with Second-Order Differential Equations, Part I. Oxford, 1962. (Tratamento clássico da teoria SL completa.)