Workshop: Revisão Completa da Unidade 1

Este workshop integra todos os temas da Unidade 1: espaços vetoriais, transformações lineares, autovalores, produto interno, teorema espectral, SVD, mínimos quadrados, espaços de Hilbert e teoria de Sturm-Liouville.

Os problemas são organizados em três blocos — do básico ao nível de provas de pós-graduação USP/ITA.

Síntese: Tabela de Referências Cruzadas

Tema

Resultado Central

Referência

Espaços Vetoriais

Teorema de Steinitz: toda base tem mesmo cardinal

Axler Cap. 2; Lay §4.5

Transformações

Rank-nullity:

\dim V = \dim\ker T + \dim\text{Im}T

Strang §3.5; Lay §4.2

Autovalores

Espectral: simétrica

\Rightarrow

ortonormalmente diagonalizável

Strang §6; Lay §7.1

Produto Interno

Cauchy-Schwarz:

\langle u,v\rangle^2 \leq \langle u,u\rangle\langle v,v\rangle

Axler §6A; Kreyszig §3.2

SVD

Eckart-Young: melhor rank-k é

A_k

Strang §6.7; Horn & Johnson Ch. 2

Mínimos Quadrados

Equações normais:

A^TA\hat{x} = A^Tb

Strang §4.3; Lay §6.5

Hilbert

Riesz-Fischer:

H \cong \ell^2

(separável)

Kreyszig §3.6; Debnath §3.4

Sturm-Liouville

Autofunções ortogonais e completas em

L^2_w

Stakgold §7; Birkhoff-Rota Ch. X

Referências Bibliográficas da Unidade 1

Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 5ª ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016. (Base: §§3–7, SVD, mínimos quadrados.)

Lay, D.C.; Lay, S.R.; McDonald, J.J. Linear Algebra and Its Applications, 5ª ed. Pearson, 2016. (Base, autovalores, espectral, mínimos quadrados: §§4–7.)

Axler, S. Linear Algebra Done Right, 3ª ed. Springer, 2015. (Fundamentos teóricos rigorosos: Caps. 1–8.)

Horn, R.A.; Johnson, C.R. Matrix Analysis, 2ª ed. Cambridge Univ. Press, 2013. (Análise matricial avançada: Caps. 1–5.)

Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley, 1978. (Hilbert, operadores, espectral: Caps. 3–9.)

Debnath, L.; Mikusinski, P. Introduction to Hilbert Spaces with Applications, 3ª ed. Academic Press, 2005. (Hilbert acessível: Caps. 2–6.)

Stakgold, I.; Holst, M. Green's Functions and Boundary Value Problems, 3ª ed. Wiley, 2011. (Sturm-Liouville: Caps. 7–8.)

Haberman, R. Applied Partial Differential Equations, 5ª ed. Pearson, 2013. (SL aplicado: §§5.3–5.8.)

Birkhoff, G.; Rota, G.C. Ordinary Differential Equations, 4ª ed. Wiley, 1989. (SL rigoroso: Cap. X.)

Hansen, P.C. Rank-Deficient and Discrete Ill-Posed Problems. SIAM, 1998. (Regularização: Caps. 2–4.)

Workshop — Álgebra Linear e Espaços de Hilbert

Workshop: Revisão Completa da Unidade 1

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Referências Bibliográficas da Unidade 1