Transformada de Laplace em Sistemas de Controle

Projeto de Controlador PID

O controlador PID tem função de transferência:

O polo em $s = 0$ do integrador elimina erro em regime permanente para referências constantes.

Malha fechada: com planta $P(s)$, a função de transferência em malha fechada é:

e o sistema é estável se todos os polos de $T(s)$ têm $\text{Re} < 0$.

Código Python — Inversão por Frações Parciais

import numpy as np
from scipy import signal

# Fração racional: H(s) = (s + 3) / (s^2 + 3s + 2) = (s+3)/((s+1)(s+2))
num = [1, 3]
den = [1, 3, 2]

# Decomposição em frações parciais via scipy
r, p, k = signal.residue(num, den)
print("Resíduos:", r)   # coeficientes A_k
print("Polos:", p)       # s_k
print("Termo direto:", k) # = 0 (grau num < grau den)

# h(t) = sum_k r_k * exp(p_k * t)  (para t > 0)
t = np.linspace(0, 5, 500)
h = sum(rk * np.exp(pk * t) for rk, pk in zip(r, p))

# Verificar com scipy.signal.impulse
sys = signal.lti(num, den)
t_imp, h_imp = signal.impulse(sys, T=t)
print(f"Erro máximo: {np.max(np.abs(h.real - h_imp)):.2e}")

Análise de Estabilidade por Routh

def routh_hurwitz(coeffs):
    """Tabela de Routh-Hurwitz. coeffs = [a_n, a_{n-1}, ..., a_0]."""
    n = len(coeffs)
    table = np.zeros((n, (n + 1) // 2))
    table[0, :len(coeffs[0::2])] = coeffs[0::2]
    table[1, :len(coeffs[1::2])] = coeffs[1::2]
    for i in range(2, n):
        for j in range(table.shape[1] - 1):
            num = table[i-1,0]*table[i-2,j+1] - table[i-2,0]*table[i-1,j+1]
            table[i, j] = num / table[i-1, 0] if table[i-1,0] != 0 else 0
    return table

# Exemplo: s^3 + 2s^2 + 4s + 3
poly = [1, 2, 4, 3]
R = routh_hurwitz(poly)
print("Tabela de Routh:\n", R)
print("Primeira coluna:", R[:, 0])
print("Estável?", all(R[:, 0] > 0))

Referência: Oppenheim & Willsky, Signals and Systems, 2ª ed., §9; Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, Cap. 6.