v1 · padrão canônico

DFT e FFT — Análise Espectral Discreta

Transformada Discreta de Fourier (DFT): definição, propriedades, convolução circular. Algoritmo FFT de Cooley-Tukey. Análise espectral, janelamento e resolução em frequência.

Used in: engenharia

Choose your door

Real scenarios with market data and step-by-step calculations

FFT em Engenharia e Processamento de Sinais

Análise Espectral de Vibração

Para monitoramento de máquinas rotativas, a FFT das vibrações revela:

Frequência fundamental de rotação e harmônicas
Frequências de falha de rolamentos ( $BPFO, BPFI, BSF$ )
Ressonâncias estruturais

import numpy as np
from scipy.fft import fft, fftfreq

# Simular sinal de vibração com 2 frequências e ruído
fs = 1000          # taxa de amostragem [Hz]
N  = 2048          # número de amostras
t  = np.arange(N) / fs

x = 1.0*np.sin(2*np.pi*50*t) + 0.5*np.sin(2*np.pi*120*t) + 0.1*np.random.randn(N)

# FFT com janela Hann (reduz leakage)
window = np.hanning(N)
X = fft(x * window)
freqs = fftfreq(N, 1/fs)

# Espectro unilateral (frequências positivas)
idx = freqs >= 0
magnitude = 2 * np.abs(X[idx]) / N  # normalização pela janela

# Picos principais
from scipy.signal import find_peaks
peaks, _ = find_peaks(magnitude, height=0.1)
print("Frequências dominantes [Hz]:", freqs[idx][peaks])

Convolução Eficiente via FFT

def fft_convolve(x, h):
    """Convolução linear via FFT (equivalente a np.convolve mas O(N log N))."""
    N = len(x) + len(h) - 1
    N_fft = 2**int(np.ceil(np.log2(N)))  # próxima potência de 2
    X = fft(x, n=N_fft)
    H = fft(h, n=N_fft)
    y = np.real(np.fft.ifft(X * H))
    return y[:N]

# Verificar contra np.convolve
x = np.random.randn(500)
h = np.array([0.25, 0.5, 0.25])  # filtro média simples
y_fft = fft_convolve(x, h)
y_ref = np.convolve(x, h)
print(f"Erro máximo: {np.max(np.abs(y_fft - y_ref)):.2e}")

Referência: Cooley & Tukey (1965) "An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series", Mathematics of Computation 19:297–301 (artigo original da FFT); Oppenheim & Schafer, Discrete-Time Signal Processing, Cap. 9.

Example

Exemplo 1 — DFT de 4 Pontos

Calcular a DFT de $x = [1, 0, -1, 0]$ com $N = 4$ .

Fator: $W_4 = e^{-2\pi i/4} = e^{-i\pi/2} = -i$ .

Cálculo:

X[0] = 1 + 0 + (-1) + 0 = 0

X[1] = 1 + 0 \cdot(-i) + (-1)(-i)^2 + 0 \cdot(-i)^3 = 1 + 0 + (-1)(1) + 0 = 0

Aguarde: $(-i)^2 = -1$ , logo $X[1] = 1 - (-1) = 2$ .

Recalcular com $W_4^{kn}$ :

X[1] = 1\cdot W_4^0 + 0\cdot W_4^1 + (-1)\cdot W_4^2 + 0\cdot W_4^3 = 1 + 0 + (-1)(-1) + 0 = 1+1 = 2

X[2] = 1 + 0 + (-1)(-1)^2 + 0 = 1 + (-1)(1) = 0

Corrigir: $W_4^{2\cdot 2} = W_4^4 = 1$ , $W_4^{2\cdot 0} = 1$ :

X[2] = 1\cdot 1 + 0\cdot(-1)^2 + (-1)\cdot 1 + 0\cdot(-1) = 1 - 1 = 0

X[3] = 1 + 0 + (-1)W_4^6 + 0 = 1 + (-1)W_4^2 = 1 - (-1) = 2

(pois $W_4^6 = W_4^2 = e^{-i\pi} = -1$ ).

Resultado: $X = [0, 2, 0, 2]$ .

Verificação (Parseval): $\sum|x[n]|^2 = 1+0+1+0 = 2$ ; $\frac{1}{4}\sum|X[k]|^2 = \frac{1}{4}(0+4+0+4) = 2 \checkmark$ .

Referência: Oppenheim & Schafer, Discrete-Time Signal Processing, 3ª ed., §8.1.

To continue

Referências Bibliográficas

Oppenheim, A.V.; Schafer, R.W. Discrete-Time Signal Processing, 3ª ed. Prentice Hall, 2009. Caps. 8–9 (DFT, propriedades, FFT). Referência central.
Cooley, J.W.; Tukey, J.W. "An Algorithm for the Machine Calculation of Complex Fourier Series." Mathematics of Computation, 19(90):297–301, 1965. (Artigo original da FFT.)
Proakis, J.G.; Manolakis, D.G. Digital Signal Processing, 4ª ed. Prentice Hall, 2007. Caps. 5–6 (DFT e implementação FFT).
Harris, F.J. "On the Use of Windows for Harmonic Analysis with the Discrete Fourier Transform." Proceedings of the IEEE, 66(1):51–83, 1978. (Referência clássica de janelamento.)
Strang, G. Introduction to Linear Algebra, 5ª ed. Wellesley-Cambridge Press, 2016. §8.3 (DFT e matrizes circulantes).
Higham, N.J. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms, 2ª ed. SIAM, 2002. §3.11 (análise de erro da FFT).
Numerical Recipes in C, 2ª ed. Cambridge Univ. Press, 1992. §12 (FFT e aplicações práticas).