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Distribuições de Schwartz e Funções Generalizadas

Espaço de funções teste, distribuições temperadas, delta de Dirac rigorosamente, derivada no sentido distribucional e valor principal de Cauchy.

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Distribuições em Engenharia e Física

Resposta ao Impulso e Função de Green

Em sistemas LTI, a resposta ao impulso $h(t)$ é definida por $Lh = \delta$ , onde $L$ é o operador diferencial. No sentido distribucional:

y = h * x \Rightarrow Ly = L(h*x) = (Lh)*x = \delta * x = x

A função de Green $G(x,\xi)$ satisfaz $L_x G(x,\xi) = \delta(x-\xi)$ no sentido distribucional.

Equação de Difusão e Delta

A solução fundamental da equação do calor:

\Phi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi t}} e^{-x^2/(4t)}, \quad t > 0

satisfaz $\Phi_t = \Phi_{xx}$ para $t > 0$ e $\Phi(\cdot, t) \to \delta$ em $\mathcal{D}'$ quando $t \to 0^+$ . A solução geral com condição inicial $u_0$ é $u(x,t) = (\Phi(\cdot,t) * u_0)(x)$ .

Código Python — Aproximações do Delta

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-3, 3, 1000)

def gaussian_delta(x, eps):
    return np.exp(-x**2/eps**2) / (eps * np.sqrt(np.pi))

def sinc_delta(x, n):
    return np.sin(n*x) / (np.pi * x + 1e-15)

fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 4))

for eps in [1.0, 0.5, 0.2]:
    ax[0].plot(x, gaussian_delta(x, eps), label=f'ε={eps}')
ax[0].set_title("Aproximações Gaussianas de δ")
ax[0].legend()

for n in [2, 5, 20]:
    ax[1].plot(x, sinc_delta(x, n), label=f'n={n}')
ax[1].set_title("Aproximações sinc de δ")
ax[1].legend()

plt.tight_layout()

# Verificar ação: ∫ δ_ε(x) φ(x) dx → φ(0)
phi = lambda x: np.exp(-x**2)  # função de teste
for eps in [0.5, 0.1, 0.01]:
    integral = np.trapz(gaussian_delta(x, eps) * phi(x), x)
    print(f"ε={eps:.2f}: ∫δ_ε φ dx = {integral:.6f} (esperado: {phi(0):.6f})")

Referência: Schwartz, Théorie des distributions, 1950–51 (obra fundadora); Evans, PDE, §D (apêndice de distribuições); Stakgold & Holst, §2.

Example

Exemplo 1 — Derivada Distribucional de |x|

Calcular $(|x|)'$ e $(|x|)''$ no sentido distribucional.

Passo 1: Para $\phi \in \mathcal{D}$ :

\langle (|x|)', \phi \rangle = -\langle |x|, \phi' \rangle = -\int_{-\infty}^\infty |x|\phi'(x)\,dx

= -\int_{-\infty}^0 (-x)\phi'(x)\,dx - \int_0^\infty x\phi'(x)\,dx

Integrando por partes: $= \int_{-\infty}^0 (-1)\phi(x)\,dx + \int_0^\infty (1)\phi(x)\,dx = \langle \text{sgn}(x), \phi\rangle$ .

Portanto $(|x|)' = \text{sgn}(x)$ .

Passo 2: $\langle (\text{sgn})', \phi \rangle = -\langle \text{sgn}, \phi' \rangle = -\int_{-\infty}^0 (-1)\phi'\,dx - \int_0^\infty (1)\phi'\,dx$

$= [\phi]_{-\infty}^0 + [-\phi]_0^\infty = \phi(0) + \phi(0) = 2\phi(0) = \langle 2\delta, \phi\rangle$ .

Resultado: $(|x|)'' = 2\delta$ .

Referência: Schwartz, Théorie des distributions, Part. I, Ch. II; Evans, PDE, Apêndice D.

Example

Exemplo 2 — Fórmula de Sokhotski-Plemelj

Verificar $\lim_{\varepsilon \to 0^+} \frac{1}{x+i\varepsilon} = \text{PV}\!\left(\frac{1}{x}\right) - i\pi\delta(x)$ no sentido distribucional.

Para $\phi \in \mathcal{S}$ :

\int_{-\infty}^\infty \frac{\phi(x)}{x+i\varepsilon}\,dx = \int_{-\infty}^\infty \frac{x\phi(x)}{x^2+\varepsilon^2}\,dx - i\int_{-\infty}^\infty \frac{\varepsilon\phi(x)}{x^2+\varepsilon^2}\,dx

Parte real → PV(1/x) (simetria): o integrando $x\phi(x)/(x^2+\varepsilon^2)$ converge a $\phi(x)/x$ para $x \neq 0$ e a integral converge ao valor principal.

Parte imaginária: $\varepsilon/(x^2+\varepsilon^2) \to \pi\delta(x)$ pois $\int_{-\infty}^\infty \varepsilon/(x^2+\varepsilon^2)\,dx = \pi$ e o integrando concentra-se em $x=0$ .

Referência: Vladimirov, Equations of Mathematical Physics, §2.3; Schwartz, ibidem.

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Referências Bibliográficas

Schwartz, L. Théorie des distributions, 2 vols. Hermann, 1950–1951. (Obra fundadora — criação rigorosa da teoria de distribuições.)
Vladimirov, V.S. Equations of Mathematical Physics. Marcel Dekker, 1971. Caps. 1–2 (distribuições e aplicações a física). Acessível.
Evans, L.C. Partial Differential Equations, 2ª ed. AMS, 2010. Apêndice D e §2.2–2.3 (distribuições e soluções fundamentais).
Stakgold, I.; Holst, M. Green's Functions and Boundary Value Problems, 3ª ed. Wiley, 2011. Cap. 2 (distribuições e funções de Green).
Rudin, W. Functional Analysis, 2ª ed. McGraw-Hill, 1991. Caps. 6–7 (topologia de D e S, distribuições temperadas). Rigoroso.
Hörmander, L. The Analysis of Linear Partial Differential Operators I. Springer, 1983. (Tratamento avançado completo.)
Reed, M.; Simon, B. Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. II: Fourier Analysis, Self-Adjointness. Academic Press, 1975. §IX (distribuições em física matemática).