Fourier de Distribuições em Processamento de Sinais

Espectro de Sinais Periódicos e Pente de Dirac

Um sinal periódico $x(t) = \sum_k c_k e^{2\pi ikt/T}$ tem transformada de Fourier distribucional:

Isso justifica a representação de espectros discretos (raias) para sinais periódicos.

Amostragem: o sinal amostrado $x_s(t) = x(t) \cdot \text{III}(t/T)$ tem transformada:

Isso é exatamente a fórmula de aliasing — os copies deslocados de $\hat{x}$ somam-se.

Código Python — Fourier de Sinais Periódicos

import numpy as np

# Sinal periódico: x(t) = sin(2π·3t) + 0.5·cos(2π·7t)
T = 1.0           # período
fs = 1000.0       # taxa de amostragem
N = int(T * fs)   # amostras em um período
t = np.arange(N) / fs

x = np.sin(2*np.pi*3*t) + 0.5*np.cos(2*np.pi*7*t)

# Coeficientes de Fourier (via DFT)
X = np.fft.fft(x) / N  # normalizar pelo número de amostras
freqs = np.fft.fftfreq(N, 1/fs)

# Raias espectrais esperadas em ±3 Hz e ±7 Hz
for k, (f, coef) in enumerate(zip(freqs[:N//2], X[:N//2])):
    if abs(coef) > 0.01:
        print(f"f = {f:.1f} Hz, |c_k| = {abs(coef):.4f}")

# Verificar Parseval
energia_tempo = np.mean(np.abs(x)**2)
energia_freq  = np.sum(np.abs(X)**2)
print(f"\nParseval: tempo={energia_tempo:.4f}, freq={energia_freq:.4f}")

Filtro no Domínio da Frequência (Multiplicação por Janela Espectral)

def ideal_lowpass(f, x, fc):
    """Filtro passa-baixas ideal via multiplicação no domínio de frequência."""
    X = np.fft.rfft(x)
    freqs = np.fft.rfftfreq(len(x), 1/f)
    X_filtered = X * (np.abs(freqs) <= fc)
    return np.fft.irfft(X_filtered, n=len(x))

# Sinal de teste com ruído de alta frequência
fs = 1000
t = np.linspace(0, 1, fs, endpoint=False)
x = np.sin(2*np.pi*50*t) + 0.3*np.random.randn(fs)
y = ideal_lowpass(fs, x, fc=100)  # corte em 100 Hz

Referência: Oppenheim & Willsky, Signals and Systems, 2ª ed., §§4–7 (Fourier contínuo e distribuições); Stein & Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Cap. I.