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Wavelets — Análise Multirresolução

Wavelet de Haar, condição de admissibilidade, análise multirresolução (MRA), wavelets de Daubechies, transformada wavelet contínua e discreta, e aplicações em compressão e denoising.

Used in: engenharia

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Real scenarios with market data and step-by-step calculations

Wavelets em Compressão e Denoising

Compressão de Imagem (JPEG 2000)

JPEG 2000 usa a wavelet biortogonal CDF 9/7 (Cohen-Daubechies-Feauveau) para compressão com e sem perda. Vantagens sobre JPEG:

Sem artefatos de bloco em taxas baixas
Escalabilidade: resolução progressiva
Melhor qualidade visual para mesma taxa de compressão

Denoising por Limiarização de Coeficientes

O denoising wavelet de Donoho-Johnstone:

Calcular DWT de $y = f + \sigma\varepsilon$
Limiarizar: $\tilde{d}_{j,k} = S_\lambda(d_{j,k})$
Reconstruir via IDWT

onde $S_\lambda$ é soft-thresholding e o limiar universal é $\lambda = \sigma\sqrt{2\ln N}$ .

Optimalidade: O estimador é ótimo (minimax) sobre classes de funções Lipschitz e Sobolev.

Código Python — DWT com PyWavelets

import numpy as np
import pywt  # pip install PyWavelets

# Sinal de teste: seno + ruído
np.random.seed(42)
N = 1024
t = np.linspace(0, 1, N)
sigma = 0.3
f_true = np.sin(2*np.pi*5*t) + 0.5*np.sin(2*np.pi*20*t)
y = f_true + sigma * np.random.randn(N)

# DWT multinível (Daubechies 4)
wavelet = pywt.Wavelet('db4')
coeffs = pywt.wavedec(y, wavelet, level=6)

# Denoising: limiar universal
threshold = sigma * np.sqrt(2 * np.log(N))
denoised_coeffs = [coeffs[0]] + [
    pywt.threshold(c, threshold, mode='soft') for c in coeffs[1:]
]

# Reconstrução
f_est = pywt.waverec(denoised_coeffs, wavelet)[:N]

snr_before = 10*np.log10(np.var(f_true)/np.var(y - f_true))
snr_after  = 10*np.log10(np.var(f_true)/np.var(f_est - f_true))
print(f"SNR antes:  {snr_before:.1f} dB")
print(f"SNR depois: {snr_after:.1f} dB")

# Comparar energia dos coeficientes (compressão)
d_all = np.concatenate([c.ravel() for c in coeffs[1:]])
idx_sorted = np.argsort(np.abs(d_all))[::-1]
for pct in [10, 5, 1]:
    k = int(pct/100 * len(d_all))
    energy_kept = np.sum(d_all[idx_sorted[:k]]**2) / np.sum(d_all**2) * 100
    print(f"Top {pct}% coef. → {energy_kept:.1f}% da energia de detalhe")

Referência: Daubechies, Ten Lectures on Wavelets (1992), Cap. 1–5; Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Cap. 6–7.

Example

Exemplo 1 — DWT de Haar para N=4

Sinal: $f = [4, 6, 2, 8]$ .

Nível 1 (filtros $h = [1/\sqrt{2}, 1/\sqrt{2}]$ e $g = [1/\sqrt{2}, -1/\sqrt{2}]$ ):

Coeficientes de aproximação: $a_1 = [(4+6)/\sqrt{2}, (2+8)/\sqrt{2}] = [5\sqrt{2}, 5\sqrt{2}]$
Coeficientes de detalhe: $d_1 = [(4-6)/\sqrt{2}, (2-8)/\sqrt{2}] = [-\sqrt{2}, -3\sqrt{2}]$

Nível 2:

$a_2 = [(5\sqrt{2}+5\sqrt{2})/\sqrt{2}] = [10]$
$d_2 = [(5\sqrt{2}-5\sqrt{2})/\sqrt{2}] = [0]$

Coeficientes: $[a_2; d_2; d_1] = [10, 0, -\sqrt{2}, -3\sqrt{2}]$ .

Energia: $4^2+6^2+2^2+8^2 = 120 = 10^2+0^2+(\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2 = 100+0+2+18 = 120 \checkmark$ .

Referência: Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, §7.3; Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Cap. 1.

Example

Exemplo 2 — Coeficientes de Daubechies Db4

Objetivo: coeficientes de filtro de Daubechies de comprimento 4 ( $N=2$ momentos nulos).

As condições são: $h_0+h_1+h_2+h_3 = \sqrt{2}$ , $h_0^2+h_1^2+h_2^2+h_3^2 = 1$ , $h_0h_2+h_1h_3 = 0$ , e momento nulo: $h_0-h_1+h_2-h_3 = 0$ .

Solução:

h_0 = \frac{1+\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \quad h_1 = \frac{3+\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \quad h_2 = \frac{3-\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \quad h_3 = \frac{1-\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}

Numericamente: $h \approx [0{,}4830, 0{,}8365, 0{,}2241, -0{,}1294]$ .

Referência: Daubechies, Ten Lectures on Wavelets, Cap. 6.

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Referências Bibliográficas

Daubechies, I. Ten Lectures on Wavelets. SIAM, 1992. (Obra fundamental — construção rigorosa de wavelets, MRA, Daubechies wavelets.) Referência principal.
Mallat, S. A Wavelet Tour of Signal Processing, 3ª ed. Academic Press, 2008. (Abordagem de processamento de sinais — MRA, DWT, banco de filtros, denoising.) Referência complementar essencial.
Meyer, Y. Wavelets and Operators. Cambridge Univ. Press, 1992. (Perspectiva de análise harmônica — frames, bases incondicionais.)
Donoho, D.L.; Johnstone, I.M. "Ideal Spatial Adaptation by Wavelet Shrinkage." Biometrika, 81(3):425–455, 1994. (Denoising ótimo — referência clássica.)
Strang, G.; Nguyen, T. Wavelets and Filter Banks. Wellesley-Cambridge Press, 1996. (Perspectiva de engenharia e álgebra linear.)
Chui, C.K. An Introduction to Wavelets. Academic Press, 1992. (Introdução acessível.)