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Funções de Green para EDOs

Construção da função de Green para operadores diferenciais de 2ª ordem com condições de contorno. Variação de parâmetros, condições de salto, simetria e aplicações.

Used in: engenharia

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Real scenarios with market data and step-by-step calculations

Aplicações de Funções de Green em Engenharia

Viga com Carga Pontual

A deflexão de uma viga de Euler-Bernoulli com carga pontual em $\xi$ (condições simplesmente apoiadas):

EI\frac{d^4 y}{dx^4} = P\delta(x-\xi), \quad y(0) = y''(0) = y(L) = y''(L) = 0

A função de Green (para flexão simples, 2ª ordem) é:

G(x,\xi) = \frac{1}{6L}\begin{cases} x(L^2-\xi^2) - (x^2-\xi^2)x & x < \xi \\ \xi(L^2-x^2) - (\xi^2-x^2)\xi & x > \xi \end{cases}

Temperatura em Fio com Fonte Pontual

Equação: $u'' = -f(x)$ , $u(0) = u(1) = 0$ .

Função de Green: $G(x,\xi) = \begin{cases} x(1-\xi) & x < \xi \\ \xi(1-x) & x > \xi \end{cases}$ .

Solução: $u(x) = \int_0^1 G(x,\xi)f(\xi)\,d\xi$ .

Código Python — Função de Green Numérica

import numpy as np
from scipy.linalg import solve

def green_function_bvp(N):
    """
    Função de Green numérica para -u'' = δ(x-ξ), u(0)=u(1)=0.
    Retorna matriz G onde G[i,j] ≈ G(x_i, ξ_j).
    """
    h = 1.0 / (N + 1)
    x = np.linspace(h, 1-h, N)  # pontos interiores
    
    # Matriz de rigidez (laplaciano 1D)
    A = (np.diag(2*np.ones(N)) - np.diag(np.ones(N-1), 1) - np.diag(np.ones(N-1), -1)) / h**2
    
    G = np.zeros((N, N))
    for j in range(N):
        rhs = np.zeros(N)
        rhs[j] = 1.0 / h  # delta ≈ 1/h no ponto j
        G[:, j] = solve(A, rhs) * h  # normalizar
    
    return x, G

N = 100
x, G = green_function_bvp(N)

# Comparar com fórmula analítica
xi_idx = N // 3  # ξ = 1/3
xi = x[xi_idx]
G_exact = np.where(x < xi, x*(1-xi), xi*(1-x))
G_numerical = G[:, xi_idx]

print(f"Erro máximo em ξ=1/3: {np.max(np.abs(G_numerical - G_exact)):.4e}")

# Simetria: verificar G(x,ξ) = G(ξ,x)
print(f"Max assimetria: {np.max(np.abs(G - G.T)):.2e}")

Referência: Stakgold & Holst, Green's Functions and Boundary Value Problems, Caps. 3–5; Arfken et al., Mathematical Methods for Physicists, Cap. 20.

Example

Exemplo 1 — Função de Green para u'' = -f, u(0)=u(L)=0

Operador: $L = -d^2/dx^2$ , $p = 1, q = 0$ , $a=0, b=L$ .

Soluções de $Lu=0$ : $u_1(x) = x$ (satisfaz $u_1(0)=0$ ), $u_2(x) = L-x$ (satisfaz $u_2(L)=0$ ).

Wronskiano: $W = u_1 u_2' - u_1' u_2 = x(-1) - 1(L-x) = -L$ (constante).

Função de Green:

G(x,\xi) = \frac{1}{p(\xi)|W|} \begin{cases} u_1(x)u_2(\xi) = x(L-\xi) & x < \xi \\ u_1(\xi)u_2(x) = \xi(L-x) & x > \xi \end{cases} = \frac{1}{L}\begin{cases} x(L-\xi) & x < \xi \\ \xi(L-x) & x > \xi \end{cases}

Verificação: (i) simetria: $G(x,\xi) = G(\xi,x)$ $\checkmark$ ; (ii) condições de contorno: $G(0,\xi)=0$ , $G(L,\xi)=0$ $\checkmark$ ; (iii) salto: $G_x(\xi^+) - G_x(\xi^-) = -\xi/L - (L-\xi)/L = -1 = -1/p(\xi)$ $\checkmark$ .

Solução para $f(x) = 1$ :

u(x) = \int_0^L G(x,\xi)\,d\xi = \frac{1}{L}\left[\int_0^x \xi(L-x)\,d\xi + \int_x^L x(L-\xi)\,d\xi\right] = \frac{x(L-x)}{2}

Verificação: $u''(x) = -1 = -f(x)$ $\checkmark$ .

Referência: Stakgold & Holst, Green's Functions and Boundary Value Problems, §3.1.

Example

Exemplo 2 — Expansão Espectral da Função de Green

Problema: $L = -d^2/dx^2$ em $(0,\pi)$ , Dirichlet.

Autovalores e autofunções: $\lambda_n = n^2$ , $\phi_n(x) = \sqrt{2/\pi}\sin(nx)$ .

Expansão espectral:

G(x,\xi) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\phi_n(x)\phi_n(\xi)}{\lambda_n} = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{\sin(nx)\sin(n\xi)}{n^2}

Verificação com fórmula fechada: Para $L = \pi$ , a fórmula do Exemplo 1 dá $G = x(\pi-\xi)/\pi$ para $x<\xi$ . A série deve convergir a essa expressão (Parseval: $\sum 1/n^4 < \infty$ ).

Referência: Stakgold & Holst, §7.2; Birkhoff & Rota, §10.1.

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Referências Bibliográficas

Stakgold, I.; Holst, M. Green's Functions and Boundary Value Problems, 3ª ed. Wiley, 2011. Caps. 3–7 (construção, simetria, espectral, SL). Referência principal.
Birkhoff, G.; Rota, G.C. Ordinary Differential Equations, 4ª ed. Wiley, 1989. §§5.4, 10 (variação de parâmetros, SL e Green).
Haberman, R. Applied Partial Differential Equations, 5ª ed. Pearson, 2013. Cap. 8 (funções de Green para EDOs e EDPs).
Arfken, G.B.; Weber, H.J.; Harris, F.E. Mathematical Methods for Physicists, 7ª ed. Academic Press, 2012. Cap. 20 (funções de Green). Acessível com muitos exemplos.
Coddington, E.A.; Levinson, N. Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill, 1955. Cap. 8 (teoria espectral de operadores SL e função de Green).
Kreyszig, E. Introductory Functional Analysis with Applications. Wiley, 1978. §§8–9 (operadores integrais compactos e alternativa de Fredholm).