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Funções de Green para EDPs

Solução fundamental do Laplaciano, calor e onda em Rⁿ. Fórmulas de representação de Green, função de Green para domínio limitado e método de imagens.

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Funções de Green em Eletromagnetismo e Difusão

Potencial de Cargas — Lei de Coulomb

O potencial elétrico de distribuição de carga $\rho(y)$ em $\mathbb{R}^3$ :

V(x) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_{\mathbb{R}^3}\frac{\rho(y)}{|x-y|}\,dy

É exatamente a convolução com a função de Green do Laplaciano 3D: $V = \Phi * \rho / \varepsilon_0$ .

Temperatura Transitória por Fonte de Calor

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def heat_kernel(x, t, kappa=1.0):
    """Núcleo do calor 1D: Φ(x,t) = exp(-x²/(4κt)) / sqrt(4πκt)"""
    if t <= 0:
        return np.where(np.abs(x) < 1e-10, np.inf, 0.0)
    return np.exp(-x**2 / (4*kappa*t)) / np.sqrt(4*np.pi*kappa*t)

def solve_heat_ic(x, t, g_func, kappa=1.0, n_points=1000):
    """
    Resolve u_t = κ u_xx com CI u(x,0) = g(x).
    u(x,t) = ∫ Φ(x-y, t) g(y) dy.
    """
    y = np.linspace(-20, 20, n_points)
    dy = y[1] - y[0]
    kernel = heat_kernel(x[:, np.newaxis] - y[np.newaxis, :], t, kappa)
    g_vals = g_func(y)
    return (kernel * g_vals[np.newaxis, :]).sum(axis=1) * dy

# Condição inicial: pulso gaussiano
x_grid = np.linspace(-5, 5, 300)
g = lambda y: np.exp(-y**2)  # gaussiana em t=0

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 5))
for t in [0.01, 0.1, 0.5, 1.0, 2.0]:
    u = solve_heat_ic(x_grid, t, g)
    ax.plot(x_grid, u, label=f't={t}')
ax.set_xlabel('x')
ax.set_title('Difusão do pulso gaussiano: u(x,t)')
ax.legend()

# Verificar Parseval: ||u(·,t)||_L2 decai como t^{-1/4}
for t in [0.1, 0.5, 2.0]:
    u = solve_heat_ic(x_grid, t, g)
    norm = np.trapz(u**2, x_grid)**0.5
    print(f"t={t:.1f}: ||u||_L2 = {norm:.4f} (esperado ∝ t^{{-1/4}} = {t**(-0.25):.4f})")

Referência: Evans, Partial Differential Equations, §§2.2–2.3; Stakgold & Holst, Caps. 4–5.

Example

Exemplo 1 — Fórmula de Poisson para o Disco

Problema: $-\Delta u = 0$ em $B(0,1) \subset \mathbb{R}^2$ , $u = g$ em $\partial B$ (em coordenadas polares: $u(1,\theta) = g(\theta)$ ).

Núcleo de Poisson para o disco:

K(r,\theta;\phi) = \frac{1-r^2}{2\pi(1-2r\cos(\theta-\phi)+r^2)}

Fórmula de Poisson:

u(r,\theta) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \frac{(1-r^2)g(\phi)}{1-2r\cos(\theta-\phi)+r^2}\,d\phi

Verificação para $g(\theta) = \cos(\theta)$ : Expandindo em série de Laurent, $u(r,\theta) = r\cos(\theta)$ (polinômio harmônico de grau 1).

Verificação: $\Delta(r\cos\theta) = 0$ $\checkmark$ ; $u(1,\theta) = \cos\theta$ $\checkmark$ .

Referência: Evans, Partial Differential Equations, §2.2; Stakgold & Holst, §4.2.

Example

Exemplo 2 — Método das Imagens: Semi-espaço

Problema: $-\Delta u = 0$ em $\mathbb{R}^3_+ = \{x_3 > 0\}$ , $u(x_1,x_2,0) = g(x_1,x_2)$ .

Ponto imagem de $x = (x_1,x_2,x_3)$ : $\tilde{x} = (x_1,x_2,-x_3)$ .

Função de Green: $G(x,y) = \frac{1}{4\pi}\left(\frac{1}{|x-y|} - \frac{1}{|\tilde{x}-y|}\right)$ .

Kernel de Poisson para semi-espaço:

K(x,y') = -\frac{\partial G}{\partial y_3}\bigg|_{y_3=0} = \frac{x_3}{2\pi(|x'-y'|^2 + x_3^2)^{3/2}}

Solução:

u(x_1,x_2,x_3) = \frac{x_3}{2\pi}\int_{\mathbb{R}^2}\frac{g(y_1,y_2)}{((x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+x_3^2)^{3/2}}\,dy_1\,dy_2

Referência: Evans, §2.2; Stakgold & Holst, §4.3.

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Referências Bibliográficas

Evans, L.C. Partial Differential Equations, 2ª ed. AMS, 2010. §§2.2–2.3 (Laplaciano, calor, onda; soluções fundamentais e representação de Green). Referência central.
Stakgold, I.; Holst, M. Green's Functions and Boundary Value Problems, 3ª ed. Wiley, 2011. Caps. 4–6 (Green para EDPs, método das imagens).
Haberman, R. Applied Partial Differential Equations, 5ª ed. Pearson, 2013. Caps. 7–8 (Fourier e Green para EDPs).
Gilbarg, D.; Trudinger, N.S. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, 2ª ed. Springer, 1983. Caps. 2–3 (princípio do máximo, estimativas de Schauder). Referência avançada.
Strauss, W.A. Partial Differential Equations: An Introduction, 2ª ed. Wiley, 2008. Cap. 7 (Green e Poisson).
Arfken, G.B.; Weber, H.J.; Harris, F.E. Mathematical Methods for Physicists, 7ª ed. Academic Press, 2012. Cap. 20 (Green para EDPs com muitos exemplos físicos).
Taylor, M.E. Partial Differential Equations I: Basic Theory. Springer, 1996. Cap. 3 (teoria moderna de Green e regularidade). Referência avançada.