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Série de Autofunções e Expansão Espectral

Aplicação da teoria de Sturm-Liouville à solução de EDPs: separação de variáveis em geometrias gerais, convergência das expansões, coeficientes de Fourier-SL e exemplos em calor, onda e Laplace.

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Expansão Espectral em Engenharia

A equação de vibração de uma membrana $u_{tt} = c^2\Delta u$ tem modos normais $\{\phi_{mn}, \omega_{mn}\}$ . A resposta a excitação periódica $f(x,y,t) = F(x,y)\cos(\Omega t)$ é:

u = \sum_{mn} \frac{F_{mn}}{\omega_{mn}^2 - \Omega^2}\phi_{mn}(x,y)\cos(\Omega t)

Ressonância: quando $\Omega \approx \omega_{mn}$ , a resposta explode → projeto deve evitar que a frequência de excitação coincida com frequência natural.

import numpy as np
from scipy.linalg import eigh

def laplacian_2d_fd(Nx, Ny):
    """Laplaciano discreto 2D (Dirichlet) por diferenças finitas."""
    N = Nx * Ny
    hx, hy = 1.0/(Nx+1), 1.0/(Ny+1)
    
    # Laplaciano 1D em cada direção
    Lx = (np.diag(2*np.ones(Nx)) - np.diag(np.ones(Nx-1),1) - np.diag(np.ones(Nx-1),-1)) / hx**2
    Ly = (np.diag(2*np.ones(Ny)) - np.diag(np.ones(Ny-1),1) - np.diag(np.ones(Ny-1),-1)) / hy**2
    
    # Produto de Kronecker: L2D = Lx⊗Iy + Ix⊗Ly
    Ix = np.eye(Nx)
    Iy = np.eye(Ny)
    return np.kron(Lx, Iy) + np.kron(Ix, Ly)

# Resolver problema de autovalores em (0,1)×(0,1)
Nx, Ny = 20, 20
L = laplacian_2d_fd(Nx, Ny)
eigvals, eigvecs = eigh(L, subset_by_index=range(min(10, Nx*Ny)))

print("10 menores autovalores (numérico vs. exato (m²+n²)π²):")
exact = sorted([(m**2 + n**2)*np.pi**2 for m in range(1,6) for n in range(1,6)])[:10]
for i, (num, ex) in enumerate(zip(eigvals[:10], exact)):
    print(f"  λ_{i+1}: {num:.4f} vs {ex:.4f} (erro {abs(num-ex)/ex*100:.2f}%)")

# Resolver equação do calor u_t = Δu, u(x,y,0) = sin(πx)sin(πy)
hx = 1.0/(Nx+1)
x = np.linspace(hx, 1-hx, Nx)
y = np.linspace(1/(Ny+1), 1-1/(Ny+1), Ny)
X, Y = np.meshgrid(x, y)
f0 = np.sin(np.pi*X)*np.sin(np.pi*Y)  # CI

# Coeficientes: c_n = <f, φ_n>
cn = eigvecs.T @ f0.ravel()

# Solução em t=0.1
t = 0.1
u = (eigvecs * np.exp(-eigvals * t)[np.newaxis, :]) @ cn

# Comparar com solução exata: e^{-2π²t}sin(πx)sin(πy)
u_exact = np.exp(-2*np.pi**2*t)*np.sin(np.pi*X)*np.sin(np.pi*Y)
err = np.max(np.abs(u.reshape(Ny, Nx) - u_exact))
print(f"\nErro máximo em t={t}: {err:.4e}")

Referência: Haberman, Applied PDE, §5.7–5.9; Strauss, PDE, §10.3.

Example

Exemplo 1 — Calor em Barra com Condutividade Variável

Problema: $u_t = (xu_x)_x$ , $x \in (1,e)$ , $u(1,t)=u(e,t)=0$ , $u(x,0)=\ln x$ .

Mudança de variável: $y = \ln x \in (0,1)$ , $v(y,t) = u(e^y,t)$ .

Transformação: $v_t = v_{yy}$ , $v(0,t)=v(1,t)=0$ , $v(y,0)=y$ .

Autofunções: $\phi_n(y) = \sin(n\pi y)$ , $\lambda_n = n^2\pi^2$ .

Coeficientes: $c_n = 2\int_0^1 y\sin(n\pi y)\,dy = \frac{2(-1)^{n+1}}{n\pi}$ .

Solução:

v(y,t) = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}e^{-n^2\pi^2 t}\sin(n\pi y)

Em variáveis originais: $u(x,t) = \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n}e^{-n^2\pi^2 t}\sin(n\pi\ln x)$ .

Referência: Haberman, Applied PDE, §5.3; Strauss, §5.4.

Example

Exemplo 2 — Onda em Membrana Circular

Problema: $u_{tt} = c^2\Delta u$ em $B(0,1)$ , $u|_{r=1}=0$ , $u(r,0)=f(r)$ , $u_t(r,0)=0$ (caso radialmente simétrico: $m=0$ ).

Autofunções radiais: $\phi_k(r) = J_0(j_{0,k}r)$ , onde $j_{0,k}$ é o $k$ -ésimo zero positivo de $J_0$ . Frequências: $\omega_k = cj_{0,k}$ .

Coeficientes:

A_k = \frac{\int_0^1 f(r)J_0(j_{0,k}r)r\,dr}{\|J_0(j_{0,k}\cdot)\|^2_w} = \frac{2\int_0^1 f(r)J_0(j_{0,k}r)r\,dr}{J_1(j_{0,k})^2}

(usando $\|J_0(j_{0,k}\cdot)\|_w^2 = J_1(j_{0,k})^2/2$ ).

Solução:

u(r,t) = \sum_{k=1}^\infty A_k\cos(cj_{0,k}t)J_0(j_{0,k}r)

Zeros relevantes: $j_{0,1} \approx 2{,}405$ , $j_{0,2} \approx 5{,}520$ , $j_{0,3} \approx 8{,}654$ .

Referência: Haberman, Applied PDE, §7.7; Strauss, §10.4.

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Referências Bibliográficas

Haberman, R. Applied Partial Differential Equations, 5ª ed. Pearson, 2013. Caps. 5–8 (Sturm-Liouville, expansão espectral, retângulo, disco). Referência principal para aplicações.
Strauss, W.A. Partial Differential Equations: An Introduction, 2ª ed. Wiley, 2008. Caps. 4, 10 (calor, onda, Laplace por separação de variáveis).
Evans, L.C. Partial Differential Equations, 2ª ed. AMS, 2010. §§6–7 (teoria de Hilbert e espectro do Laplaciano).
Stakgold, I.; Holst, M. Green's Functions and Boundary Value Problems, 3ª ed. Wiley, 2011. Cap. 7–8 (SL e expansão espectral para EDPs).
Reed, M.; Simon, B. Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. IV: Analysis of Operators. Academic Press, 1978. §§XIII (lei de Weyl e funções de traço). Avançado.
Kac, M. "Can One Hear the Shape of a Drum?" American Mathematical Monthly, 73(4):1–23, 1966. (Artigo clássico sobre autovalores e geometria.)

Expansão Espectral em Engenharia

Análise Modal de Estruturas

Simulação Numérica por Expansão Modal

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Referências Bibliográficas