v1 · padrão canônico

Introdução ao Cálculo Variacional

Problemas isoperimétricos, funcionais, variação primeira e equação de Euler-Lagrange. Problemas clássicos: braquistócrona, catenária, superfície mínima.

Used in: engenharia

Choose your door

Real scenarios with market data and step-by-step calculations

Cálculo Variacional em Engenharia

Otimização de Trajetórias

A braquistócrona é o protótipo de problemas de otimização de trajetórias em robótica e aeronáutica: encontrar o caminho de tempo mínimo de A a B.

Forma geral: minimizar $T = \int_{t_0}^{t_f} L(x, \dot{x}, t)\,dt$ sobre trajetórias com velocidade limitada, sujeito a equações de movimento.

Deflexão de Viga (Energia de Elasticidade)

A deflexão $u(x)$ de uma viga de Euler-Bernoulli minimiza a energia total:

J[u] = \frac{1}{2}\int_0^L EI(u'')^2\,dx - \int_0^L f\,u\,dx

A equação de Euler-Lagrange de 4ª ordem é: $(EIu'')'' = f$ .

Código Python — Solução Numérica da Braquistócrona

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve
import matplotlib.pyplot as plt

def brachistochrone(x1, y1, N=200):
    """
    Braquistócrona parametrizada pela cicloide:
    x(θ) = r(θ - sinθ), y(θ) = r(1 - cosθ)
    Encontra r tal que (x(θ₁), y(θ₁)) = (x1, y1).
    """
    def equations(r_theta):
        r, theta = r_theta
        return [r*(theta - np.sin(theta)) - x1,
                r*(1 - np.cos(theta)) - y1]
    
    r, theta_end = fsolve(equations, [1.0, 1.0])
    theta = np.linspace(0, theta_end, N)
    x = r * (theta - np.sin(theta))
    y = r * (1 - np.cos(theta))
    return x, y, r

# Ponto final: (1, 0.5)
x_end, y_end = 1.0, 0.5
x_brac, y_brac, r = brachistochrone(x_end, y_end)

# Tempo de descida na cicloide vs. reta
g = 9.81
# Reta: y = (y_end/x_end)*x
N = 1000
x_line = np.linspace(0, x_end, N)
y_line = (y_end/x_end)*x_line

def descent_time(x_path, y_path, g=9.81):
    """Calcular tempo de descida por integração numérica."""
    dx = np.diff(x_path)
    dy = np.diff(y_path)
    ds = np.sqrt(dx**2 + dy**2)
    y_mid = (y_path[:-1] + y_path[1:]) / 2
    v = np.sqrt(2*g*np.maximum(y_mid, 1e-10))  # velocidade
    return np.sum(ds/v)

T_brac = descent_time(x_brac, y_brac)
T_line = descent_time(x_line, y_line)
print(f"Tempo na cicloide: {T_brac:.4f} s")
print(f"Tempo na reta:     {T_line:.4f} s")
print(f"Redução:           {(1-T_brac/T_line)*100:.1f}%")

Referência: Gelfand & Fomin, Calculus of Variations, Cap. 1–2; Lanczos, The Variational Principles of Mechanics, Cap. II.

Example

Exemplo 2 — Catenária

Problema: minimizar $J[y] = \int_{-1}^1 y\sqrt{1+y'^2}\,dx$ com $y(-1) = y(1) = 1$ .

Beltrami (L independente de x):

y\sqrt{1+y'^2} - y\cdot\frac{y'^2}{\sqrt{1+y'^2}} = \frac{y}{\sqrt{1+y'^2}} = C

Separando variáveis:

\frac{dy}{\sqrt{(y/C)^2 - 1}} = \pm\,dx \Rightarrow C\cosh^{-1}(y/C) = x - x_0

Solução: $y = C\cosh((x-x_0)/C)$ . Pela simetria $x_0 = 0$ ; das condições $y(\pm 1) = 1$ : $C\cosh(1/C) = 1$ .

Numericamente: $C \approx 0{,}6627$ , verificado como ponto crítico de $C\cosh(1/C) - 1 = 0$ .

Referência: Gelfand & Fomin, §3.1; Lanczos, §II.5.

To continue

Referências Bibliográficas

Gelfand, I.M.; Fomin, S.V. Calculus of Variations. Dover, 2000 (reimpressão do original de 1963). Caps. 1–5 (E-L, integrais primeiras, segunda variação, Jacobi). Referência clássica acessível.
Lanczos, C. The Variational Principles of Mechanics, 4ª ed. Dover, 1986. Caps. II, VI (variacional clássico e problemas isoperimétricos). Perspectiva física profunda.
Courant, R.; Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Vol. I. Wiley, 1953. Cap. IV (cálculo variacional). Clássico completo.
Dacorogna, B. Introduction to the Calculus of Variations, 3ª ed. Imperial College Press, 2014. (Abordagem moderna com teoria de existência.)
Evans, L.C. Weak Convergence Methods for Nonlinear PDEs. AMS, 1990. (Métodos modernos de existência.)
Giaquinta, M.; Hildebrandt, S. Calculus of Variations, 2 vols. Springer, 1996. (Referência avançada completa.)