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Equação de Euler-Lagrange — Teoria Avançada

Funcionais com múltiplas funções, derivadas de ordem superior, condições naturais de contorno, simetrias e teorema de Noether, e Euler-Lagrange em múltiplas variáveis independentes.

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Euler-Lagrange em Engenharia Estrutural e Óptica

Principio de Fermat (Óptica)

O caminho da luz minimiza o tempo óptico $T = \int \frac{n(x,y)}{c}\,ds$ . A E-L da forma integralda dá a equação eikonal:

\frac{d}{ds}(n\hat{t}) = \nabla n

onde $\hat{t}$ é o vetor tangente unitário ao raio. Para índice constante: raios retos.

Deflexão de Placa Delgada

import numpy as np
from scipy.sparse import diags, kron, eye
from scipy.sparse.linalg import spsolve

def biharmonic_2d(Nx, Ny, D=1.0):
    """
    Resolve D*Δ²u = f em (0,1)×(0,1) com u=∂u/∂n=0 na fronteira.
    Equação de Euler-Lagrange do funcional de placa de Kirchhoff.
    """
    hx = 1.0/(Nx+1)
    hy = 1.0/(Ny+1)
    
    # Laplaciano 1D em cada direção
    e = np.ones(Nx)
    Lx = diags([-e, 2*e, -e], [-1, 0, 1]) / hx**2
    e = np.ones(Ny)
    Ly = diags([-e, 2*e, -e], [-1, 0, 1]) / hy**2
    
    Ix, Iy = eye(Nx), eye(Ny)
    # Laplaciano 2D
    L2 = kron(Lx, Iy) + kron(Ix, Ly)
    # Bilaplaciano
    A = D * L2 @ L2
    
    x = np.linspace(hx, 1-hx, Nx)
    y = np.linspace(hy, 1-hy, Ny)
    X, Y = np.meshgrid(x, y)
    
    f = np.ones(Nx*Ny)  # carga uniforme
    u = spsolve(A.tocsr(), f)
    return u.reshape(Ny, Nx), X, Y

u, X, Y = biharmonic_2d(30, 30)
print(f"Deflexão máxima (centro): {u[15,15]:.6f}")
print(f"Valor exato (série): ≈ 0.001265")  # em unidades de q*L^4/(D)

Referência: Gelfand & Fomin, Calculus of Variations, §4; Timoshenko & Woinowsky-Krieger, Theory of Plates and Shells, Cap. 4.

Example

Exemplo 1 — E-L para Viga de Euler-Bernoulli

Funcional: $J[y] = \int_0^L \left[\frac{EI}{2}(y'')^2 - fy\right]dx$ , $y(0)=y(L)=y'(0)=y'(L)=0$ .

Lagrangiana: $L = \frac{EI}{2}(y'')^2 - fy$ , depende de $y$ e $y''$ .

E-L de 4ª ordem:

L_y - \frac{d}{dx}L_{y'} + \frac{d^2}{dx^2}L_{y''} = -f + 0 + \frac{d^2}{dx^2}(EIy'') = (EIy'')'' - f = 0

Equação: $(EIy'')'' = f$ (equação de deflexão de viga com carga distribuída $f$ ).

Para $EI$ constante e $f = f_0$ : $EIy'''' = f_0$ , solução: $y = \frac{f_0}{24EI}x^2(L-x)^2$ .

Referência: Gelfand & Fomin, §4.1; Lanczos, Variational Principles, §V.

Example

Exemplo 2 — Noether: Conservação de Energia

Sistema: pêndulo, $L(t,\theta,\dot{\theta}) = \frac{ml^2\dot{\theta}^2}{2} - mgl(1-\cos\theta)$ .

Simetria temporal: $\bar{t} = t+s$ , $\bar{\theta} = \theta$ , logo $\xi = 1$ , $\eta = 0$ .

Quantidade conservada de Noether:

L\xi + L_{\dot{\theta}}(\eta - \dot{\theta}\xi) = L - \dot{\theta}L_{\dot{\theta}} = \frac{ml^2\dot{\theta}^2}{2} + mgl(1-\cos\theta) - \dot{\theta}\cdot ml^2\dot{\theta}

= -\frac{ml^2\dot{\theta}^2}{2} + mgl(1-\cos\theta) = -(T-V) = -L

Equivalentemente, $E = T + V = \frac{ml^2\dot{\theta}^2}{2} + mgl(1-\cos\theta) = \text{const}$ (energia mecânica total).

Referência: Gelfand & Fomin, §3.3; Lanczos, §III.5.

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Referências Bibliográficas

Gelfand, I.M.; Fomin, S.V. Calculus of Variations. Dover, 2000. Caps. 3–5 (E-L generalizada, Noether, segunda variação). Referência central.
Goldstein, H.; Poole, C.; Safko, J. Classical Mechanics, 3ª ed. Addison-Wesley, 2001. Caps. 2–8 (mecânica lagrangiana, Noether, Hamiltoniana).
Lanczos, C. The Variational Principles of Mechanics, 4ª ed. Dover, 1986. Cap. III (simetrias e conservação).
Courant, R.; Hilbert, D. Methods of Mathematical Physics, Vol. I. Wiley, 1953. Cap. IV–VI (E-L, isoperimétrico, quociente de Rayleigh).
Dacorogna, B. Introduction to the Calculus of Variations, 3ª ed. Imperial College Press, 2014. (Existência, quasiconvexidade, regularidade.)
Evans, L.C. Partial Differential Equations, 2ª ed. AMS, 2010. Cap. 8 (cálculo variacional e EDPs).