v1 · padrão canônico

Mecânica Lagrangiana

Lagrangiana L=T-V, equações de Lagrange para sistemas de partículas, vínculos holonômicos e não-holonômicos, graus de liberdade e multiplicadores de Lagrange.

Used in: engenharia

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Real scenarios with market data and step-by-step calculations

Mecânica Lagrangiana em Robótica

Modelo Dinâmico de Robô com 2 Juntas

Para um manipulador planar com 2 juntas de revolução:

\mathbf{M}(q)\ddot{q} + \mathbf{C}(q,\dot{q})\dot{q} + \mathbf{G}(q) = \boldsymbol{\tau}

onde:

$\mathbf{M}(q)$ = matriz de inércia (tensor de massa)
$\mathbf{C}(q,\dot{q})$ = termos de Coriolis e centrífugos
$\mathbf{G}(q)$ = termos gravitacionais
$\boldsymbol{\tau}$ = torques aplicados nas juntas

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp

# Parâmetros do pêndulo duplo
m1, m2 = 1.0, 1.0  # massas
l1, l2 = 1.0, 1.0  # comprimentos
g = 9.81

def double_pendulum(t, y):
    """Equações de Lagrange para o duplo pêndulo."""
    theta1, omega1, theta2, omega2 = y
    dth = theta2 - theta1
    
    # Matriz de massa
    M11 = (m1 + m2)*l1**2
    M12 = m2*l1*l2*np.cos(dth)
    M22 = m2*l2**2
    
    # Força generalizada (- gradiente de V - termos não-lineares)
    F1 = -m2*l1*l2*omega2**2*np.sin(dth) - (m1+m2)*g*l1*np.sin(theta1)
    F2 = m2*l1*l2*omega1**2*np.sin(dth) - m2*g*l2*np.sin(theta2)
    
    det = M11*M22 - M12**2
    alpha1 = (M22*F1 - M12*F2) / det
    alpha2 = (M11*F2 - M12*F1) / det
    
    return [omega1, alpha1, omega2, alpha2]

# Condições iniciais: pequena perturbação
y0 = [np.pi/6, 0, np.pi/4, 0]
sol = solve_ivp(double_pendulum, [0, 20], y0, max_step=0.01, rtol=1e-8)

# Energia total (deve ser conservada)
th1, om1, th2, om2 = sol.y
T = 0.5*(m1+m2)*l1**2*om1**2 + 0.5*m2*l2**2*om2**2 + m2*l1*l2*om1*om2*np.cos(th2-th1)
V = -(m1+m2)*g*l1*np.cos(th1) - m2*g*l2*np.cos(th2)
E_total = T + V
print(f"Variação de energia: {(E_total.max()-E_total.min())/E_total.mean()*100:.4f}%")

Referência: Goldstein, Poole & Safko, Classical Mechanics, 3ª ed., Cap. 1–2; Spong, Hutchinson & Vidyasagar, Robot Modeling and Control, Cap. 5.

Example

Exemplo 2 — Pêndulo Esférico

Coordenadas: $(\theta, \phi)$ (polar e azimutal). Posição: $(l\sin\theta\cos\phi, l\sin\theta\sin\phi, -l\cos\theta)$ .

Lagrangiana:

L = \frac{ml^2}{2}(\dot{\theta}^2 + \sin^2\theta\,\dot{\phi}^2) + mgl\cos\theta

Equações de Lagrange:

ml^2\ddot{\theta} = ml^2\sin\theta\cos\theta\,\dot{\phi}^2 - mgl\sin\theta

\frac{d}{dt}(ml^2\sin^2\theta\,\dot{\phi}) = 0 \Rightarrow p_\phi = ml^2\sin^2\theta\,\dot{\phi} = \text{const}

A coordenada $\phi$ é cíclica → momento angular vertical conservado.

Referência: Goldstein, Classical Mechanics, §1.6; Lanczos, Variational Principles, §III.

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Referências Bibliográficas

Goldstein, H.; Poole, C.; Safko, J. Classical Mechanics, 3ª ed. Addison-Wesley, 2001. Caps. 1–2 (mecânica lagrangiana, vínculos, Noether). Referência principal.
Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. Mechanics, 3ª ed. Butterworth-Heinemann, 1976. Caps. I–V (formalismo lagrangiano, modos normais, corpo rígido). Conciso e profundo.
Lanczos, C. The Variational Principles of Mechanics, 4ª ed. Dover, 1986. Caps. II–IV (princípio de Hamilton, Lagrange, vínculos).
Spong, M.W.; Hutchinson, S.; Vidyasagar, M. Robot Modeling and Control. Wiley, 2005. Cap. 5 (dinâmica de robôs via Lagrange).
Dirac, P.A.M. Lectures on Quantum Mechanics. Belfer Graduate School of Science, 1964. (Formalismo de vínculos de Dirac.)
Arnold, V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2ª ed. Springer, 1989. (Perspectiva geométrica — geometria simplética e variedades.)