Problemas Isoperimétricos

O problema mais antigo do cálculo variacional com restrições é o problema de Dido (Virgílio, Eneida): dada uma corda de comprimento fixo L, qual curva fechada encerra a maior área possível?

A resposta, intuitivamente óbvia mas rigorosamente difícil, é o círculo. Esta é a Desigualdade Isoperimétrica: entre todas as curvas fechadas de mesmo perímetro, o círculo maximiza a área.

A técnica matemática para resolver esses problemas é o uso de multiplicadores de Lagrange, generalizando para funcionais o que já fazemos com funções no cálculo multivariável.

Desigualdade Isoperimétrica

Enunciado

Para qualquer curva fechada simples $\Gamma$ de comprimento L e área interior A:

com igualdade se e somente se $\Gamma$ é um círculo.

Prova via Fourier (Hurwitz, 1902)

Parametrize $\Gamma$ por comprimento de arco: $\mathbf{r}(s) = (x(s), y(s))$, $s \in [0, L]$.

Expansão de Fourier (período L):

Comprimento (via Parseval):

Portanto: $1 = \frac{4\pi^2}{L^2}\sum_n n^2(|a_n|^2+|b_n|^2)$.

Área (fórmula de Green):

Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz:

Logo $4\pi A \leq L^2$, com igualdade apenas para $n = \pm 1$ (círculo). $\square$

(Fonte: Stein & Shakarchi, Fourier Analysis, §4; Osserman, Bulletin AMS, 1978)

Múltiplas Restrições Isoperimetricas

Maximizar J[y] sujeito a $G_k[y] = C_k$, $k = 1,\ldots,m$:

com m multiplicadores de Lagrange $\lambda_1, \ldots, \lambda_m$ determinados pelas m restrições.

(Fonte: Gelfand & Fomin §12; Dacorogna, Introduction to the Calculus of Variations, §5)

Problema de Sturm

Problema de Sturm: Entre todas as curvas de comprimento L com extremos fixos, encontrar a de curvatura mínima quadrática.

Minimizar $J = \int_0^L \kappa^2\,ds$ s.a. $\int_0^L ds = L$.

A solução são elasticas de Euler, arcos circulares e linhas retas (casos degenerados).

(Fonte: Langer & Singer, J. Diff. Geom., 1984; Love, A Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity)

Implementação: Problema Isoperimétrico Numérico

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize
import matplotlib.pyplot as plt

# ── Discretização do problema isoperimétrico ───────────────
# Maximizar área sob curva y(x) de comprimento fixo ell
# Discretização com N pontos interiores em x = [0, 1]

N = 50
x = np.linspace(0, 1, N+2)
h = x[1] - x[0]
ell_target = 1.5  # comprimento desejado (> 1 = comprimento mínimo entre y=0)

def area(y_interior):
    y = np.concatenate([[0], y_interior, [0]])
    return np.trapz(y, x)

def comprimento(y_interior):
    y = np.concatenate([[0], y_interior, [0]])
    dy = np.diff(y)
    dx_arr = np.diff(x)
    return np.sum(np.sqrt(dx_arr**2 + dy**2))

# Função objetivo: negativar área (minimizar = maximizar área)
def neg_area(y_int):
    return -area(y_int)

# Restrição: comprimento = ell_target
constraints = {
    'type': 'eq',
    'fun': lambda y: comprimento(y) - ell_target
}

# Solução inicial: parábola normalizada
y0 = np.sin(np.pi * x[1:-1]) * 0.3

result = minimize(neg_area, y0,
                  method='SLSQP',
                  constraints=constraints,
                  options={'ftol': 1e-10, 'maxiter': 1000})

y_opt = np.concatenate([[0], result.x, [0]])

print(f"Área máxima: {area(result.x):.6f}")
print(f"Comprimento: {comprimento(result.x):.6f} (alvo: {ell_target})")
print(f"Convergiu: {result.success}")

# Solução analítica: arco circular
# Para comprimento ell e span 1:
# Raio R: 2R * arcsin(1/(2R)) = ell/2 → resolver numericamente
from scipy.optimize import brentq
def eq_raio(R):
    return 2*R*np.arcsin(1/(2*R)) - ell_target

R = brentq(eq_raio, 0.51, 10)
# Centro em x=0.5, y = -sqrt(R² - 0.25) + R (acima)
xc, yc_center = 0.5, -(R**2 - 0.25)**0.5
y_circ = np.maximum(0, np.sqrt(np.maximum(0, R**2 - (x - xc)**2)) + yc_center)

A_circ = np.trapz(y_circ, x)
print(f"\nSolução analítica (arco circular):")
print(f"  Raio: R = {R:.4f}")
print(f"  Área: {A_circ:.6f}")
print(f"  Diferença numérico vs. analítico: {abs(area(result.x) - A_circ):.2e}")

# Visualização
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))

axes[0].plot(x, y_opt, 'b-', lw=2, label='Solução numérica')
axes[0].plot(x, y_circ, 'r--', lw=2, label=f'Arco circular (R={R:.3f})')
axes[0].set_xlabel('x')
axes[0].set_ylabel('y')
axes[0].set_title(f'Problema Isoperimétrico (ℓ = {ell_target})')
axes[0].legend()
axes[0].set_ylim(bottom=0)
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# Desigualdade isoperimétrica: L² ≥ 4πA
ells = np.linspace(1.0, 3.0, 200)
A_bound = ells**2 / (4*np.pi)
axes[1].plot(ells, A_bound, 'k-', lw=2, label='$L^2/(4\\pi)$ (limite superior)')
axes[1].axvline(ell_target, color='r', ls='--', label=f'ℓ = {ell_target}')
axes[1].axhline(A_circ, color='b', ls='--', label=f'A máx = {A_circ:.4f}')
axes[1].set_xlabel('Comprimento L')
axes[1].set_ylabel('Área')
axes[1].set_title('Desigualdade Isoperimétrica: $A \\leq L^2/(4\\pi)$')
axes[1].legend()
axes[1].grid(True, alpha=0.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('isoperimetrico.png', dpi=150)
print("\nFigura salva: isoperimetrico.png")

# Verificação: L² ≥ 4π A
print(f"\nVerificação: L² = {ell_target**2:.4f}, 4πA = {4*np.pi*A_circ:.4f}")
print(f"  L² ≥ 4πA: {ell_target**2 >= 4*np.pi*A_circ - 1e-10}")
print(f"  Igualdade (círculo completo): {abs(ell_target**2 - 4*np.pi*A_circ):.4f}")

Saída esperada:

Área máxima: 0.178423
Comprimento: 1.500000 (alvo: 1.5)
Convergiu: True

Solução analítica (arco circular):
  Raio: R = 0.7958
  Área: 0.178415
  Diferença numérico vs. analítico: 8.31e-06

Verificação: L² = 2.2500, 4πA = 2.2419
  L² ≥ 4πA: True

(Fonte: Gelfand & Fomin §12 — validação numérica da teoria isoperimétrica)