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Workshop — Cálculo Variacional e Mecânica Analítica

Workshop integrativo da Unidade 3: problemas combinando E-L, mecânica lagrangiana, hamiltoniana, controle ótimo, isoperimétrico, Sobolev, elementos finitos e aplicações em física e engenharia.

Used in: engenharia

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Workshop: Revisão Completa da Unidade 3

Este workshop integra todos os temas da Unidade 3: Introdução ao Cálculo Variacional, Equação de Euler-Lagrange (avançada), Mecânica Lagrangiana, Mecânica Hamiltoniana, Controle Ótimo, Problemas Isoperimétricos, Cálculo Variacional em Sobolev, Métodos Variacionais para EDPs e Aplicações em Física e Engenharia.

Os problemas são organizados em três blocos — do fundamental ao nível de exames de pós-graduação.

Example

Síntese: Hierarquia das Formulações Mecânicas

Formulação	Variáveis	Equações	Espaço	Vantagem
Newton	$\mathbf{r}(t)$	$m\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}$	$\mathbb{R}^{3N}$	Intuição física
Lagrange	$q(t), \dot{q}(t)$	$E[L] = Q_k$	TQ (fibrado tangente)	Coordenadas gerais, vínculos
Hamilton	$q(t), p(t)$	$\dot{q}=H_p, \dot{p}=-H_q$	$T^*Q$ (fibrado cotangente)	Simetria, integrabilidade
Hamilton-Jacobi	$S(q,t)$	EDP de 1ª ordem	—	Integração completa
Pontryagin	$x, u, \lambda$	$\min_u \mathcal{H}$	—	Restrições em u
HJB	$V(x,t)$	EDP no espaço de estado	—	Síntese de feedback

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Referências Bibliográficas da Unidade 3

Gelfand, I.M.; Fomin, S.V. Calculus of Variations. Dover, 2000. Clássico acessível, fundamentos rigorosos.
Goldstein, H.; Poole, C.; Safko, J. Classical Mechanics, 3ª ed. Addison-Wesley, 2002. Caps. 1–2 (Lagrange), 8–10 (Hamilton, H-J, ação-ângulo), 13 (campos).
Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. Mechanics (Vol. 1), 3ª ed. Butterworth-Heinemann, 1976. Tratamento elegante e conciso.
Arnold, V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2ª ed. Springer, 1989. Geometria simpléctica, KAM.
Lanczos, C. The Variational Principles of Mechanics, 4ª ed. Dover, 1970. Perspectiva histórica e variacional.
Kirk, D.E. Optimal Control Theory. Dover, 2004. Referência didática para controle ótimo.
Pontryagin, L.S. et al. Mathematical Theory of Optimal Processes. Wiley, 1962. Obra original do Princípio do Mínimo.
Evans, L.C. Partial Differential Equations, 2ª ed. AMS, 2010. Caps. 5–8, 10 (Sobolev, existência, HJB).
Brenner, S.C.; Scott, L.R. The Mathematical Theory of Finite Element Methods, 3ª ed. Springer, 2008. Teoria matemática do FEM.
Dacorogna, B. Introduction to the Calculus of Variations, 3ª ed. Imperial College Press, 2014. Método direto e quasiconvexidade.
Born, M.; Wolf, E. Principles of Optics, 7ª ed. Cambridge, 1999. Óptica variacional — Fermat.
Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. Classical Theory of Fields (Vol. 2). Eletromagnetismo e campos.
Tinkham, M. Introduction to Superconductivity, 2ª ed. Dover, 2004. §5.1 (Ginzburg-Landau).
Strogatz, S.H. Nonlinear Dynamics and Chaos, 2ª ed. Westview, 2015. §12 (caos em sistemas Hamiltonianos).