Variedades: Superfícies Generalizadas

Uma variedade é um espaço que localmente "parece" com o espaço euclideano. A superfície da Terra é uma variedade 2-dimensional: em cada ponto, uma região suficientemente pequena pode ser mapeada num pedaço plano (como um mapa geográfico).

A diferença é que as coordenadas locais (mapas) podem não cobrir o espaço inteiro — precisamos de vários mapas sobrepostos (um atlas). A condição de "diferenciabilidade" exige que as transições entre mapas sejam suaves.

Exemplos de variedades: a esfera S², o toro T², grupos de Lie como SO(3) (rotações 3D), o espaço de configurações de robôs articulados.

Espaço Tangente e Fibrado Tangente

Vetores Tangentes

Definição via derivações: Um vetor tangente em $p \in M$ é uma derivação $v: C^\infty(M) \to \mathbb{R}$ — aplicação linear satisfazendo a regra de Leibniz:

Em coordenadas locais $(x^1,\ldots,x^n)$ ao redor de p, os vetores $\partial/\partial x^i|_p$ formam uma base de $T_pM$:

(Fonte: Lee §3; Carroll §2.3)

Diferencial e Pullback

Para $f: M \to N$ suave, o diferencial (pushforward):

Em coordenadas: $(f_*v)^i = \frac{\partial f^i}{\partial x^j}v^j$ (Jacobiano!).

Para 1-formas, o pullback $f^*: T^*_{f(p)}N \to T^*_p M$:

(Fonte: Lee §3; do Carmo, Riemannian Geometry §0)

Fibrado Tangente

O fibrado tangente é:

com estrutura de variedade 2n-dimensional. A projeção $\pi: TM \to M$ envia $(p,v) \mapsto p$.

Um campo vetorial é uma seção $X: M \to TM$ com $\pi \circ X = \text{id}_M$.

Colchete de Lie: Para campos X, Y:

(Fonte: Lee §8; Carroll §2)

Implementação: Projeção Estereográfica da Esfera S²

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# ── Projeção estereográfica S² → ℝ² ─────────────────────
# Do polo norte N = (0,0,1): p = (x,y,z) → (X,Y)
def proj_norte(x, y, z):
    """Projeção estereográfica do polo norte."""
    denom = 1 - z
    return x / denom, y / denom

def proj_sul(x, y, z):
    """Projeção estereográfica do polo sul."""
    denom = 1 + z
    return x / denom, y / denom

def inv_norte(X, Y):
    """Inversa da projeção do polo norte."""
    denom = 1 + X**2 + Y**2
    return 2*X/denom, 2*Y/denom, (X**2+Y**2-1)/denom

# ── Verificar que a mudança de cartas é C^∞ ───────────────
# Composição: φ_sul ∘ φ_norte^{-1}: ℝ²\{0} → ℝ²\{0}
# (X,Y) → ponto na esfera → (X',Y')
def mudanca_cartas(X, Y):
    """Mudança de cartas: norte → sul. Deve ser X'=X/(X²+Y²), etc."""
    x, y, z = inv_norte(X, Y)
    return proj_sul(x, y, z)

# Verificar: para (X,Y) = (1,1)
X0, Y0 = 1.0, 1.0
Xp, Yp = mudanca_cartas(X0, Y0)
r_sq = X0**2 + Y0**2
print(f"Mudança de cartas em (1,1):")
print(f"  Resultado: ({Xp:.4f}, {Yp:.4f})")
print(f"  Esperado: ({X0/r_sq:.4f}, {Y0/r_sq:.4f})")
print(f"  Fórmula: (X,Y) → (X/(X²+Y²), Y/(X²+Y²)) — inversão no círculo")

# ── Visualização: Atlas da esfera ─────────────────────────
fig = plt.figure(figsize=(14, 5))

# Esfera com meridionais e paralelos
ax1 = fig.add_subplot(131, projection='3d')
u = np.linspace(0, 2*np.pi, 50)
v = np.linspace(0, np.pi, 25)
xs = np.outer(np.cos(u), np.sin(v))
ys = np.outer(np.sin(u), np.sin(v))
zs = np.outer(np.ones(u.shape), np.cos(v))
ax1.plot_surface(xs, ys, zs, alpha=0.3, color='lightblue')
ax1.set_title('S² (esfera)')

# Projeção do polo norte
ax2 = fig.add_subplot(132)
phi_vals = np.linspace(0, 2*np.pi, 200)
for theta in [np.pi/6, np.pi/3, np.pi/2, 2*np.pi/3, 5*np.pi/6]:
    x_sph = np.sin(theta) * np.cos(phi_vals)
    y_sph = np.sin(theta) * np.sin(phi_vals)
    z_sph = np.cos(theta) * np.ones_like(phi_vals)
    # Não plotar perto do polo norte (z~1)
    mask = z_sph < 0.95
    if mask.sum() > 0:
        Xp, Yp = proj_norte(x_sph[mask], y_sph[mask], z_sph[mask])
        ax2.plot(Xp, Yp, 'b-', lw=0.8, alpha=0.7)
ax2.set_xlim(-5, 5); ax2.set_ylim(-5, 5)
ax2.set_title('Carta Norte: S²\\{N} → ℝ²')
ax2.grid(True, alpha=0.3); ax2.set_aspect('equal')

# Projeção do polo sul
ax3 = fig.add_subplot(133)
for theta in [np.pi/6, np.pi/3, np.pi/2, 2*np.pi/3, 5*np.pi/6]:
    x_sph = np.sin(theta) * np.cos(phi_vals)
    y_sph = np.sin(theta) * np.sin(phi_vals)
    z_sph = np.cos(theta) * np.ones_like(phi_vals)
    mask = z_sph > -0.95
    if mask.sum() > 0:
        Xp, Yp = proj_sul(x_sph[mask], y_sph[mask], z_sph[mask])
        ax3.plot(Xp, Yp, 'r-', lw=0.8, alpha=0.7)
ax3.set_xlim(-5, 5); ax3.set_ylim(-5, 5)
ax3.set_title('Carta Sul: S²\\{S} → ℝ²')
ax3.grid(True, alpha=0.3); ax3.set_aspect('equal')

plt.tight_layout()
plt.savefig('atlas_esfera.png', dpi=150)
print("\nFigura salva: atlas_esfera.png")

# ── SO(3): Fórmula de Rodrigues ────────────────────────────
print("\n── Fórmula de Rodrigues (SO(3)) ──")
def rodrigues(omega, theta):
    """Rotação de ângulo theta em torno do eixo omega (unitário)."""
    omega = omega / np.linalg.norm(omega)
    wx, wy, wz = omega
    K = np.array([[0, -wz, wy],
                  [wz, 0, -wx],
                  [-wy, wx, 0]])  # Matriz antisimétrica de omega
    return np.eye(3) + np.sin(theta)*K + (1-np.cos(theta))*K@K

# Rotação de 90° em torno do eixo z
R = rodrigues([0, 0, 1], np.pi/2)
print("Rotação 90° em torno de z:")
print(np.round(R, 4))
v_test = np.array([1, 0, 0])
print(f"R * (1,0,0) = {np.round(R @ v_test, 4)} (deve ser (0,1,0))")

# Verificar R^T R = I e det R = 1
print(f"R^T R = \n{np.round(R.T @ R, 10)}")
print(f"det(R) = {np.linalg.det(R):.6f}")

Saída esperada:

Mudança de cartas em (1,1):
  Resultado: (0.5000, 0.5000)
  Esperado:  (0.5000, 0.5000)
  Fórmula: (X,Y) → (X/(X²+Y²), Y/(X²+Y²)) — inversão no círculo

Rotação 90° em torno de z:
[[ 0. -1.  0.]
 [ 1.  0.  0.]
 [ 0.  0.  1.]]
R * (1,0,0) = [0. 1. 0.] (deve ser (0,1,0))
det(R) = 1.000000

(Fonte: Lee §1 — atlas da esfera; Goldstein §4.5 — Rodrigues)