Curvatura: Medindo o Desvio da Planaridade

Em uma superfície plana, transportar um vetor ao longo de um triângulo o retorna inalterado. Em uma superfície curva (como a esfera), o vetor retorna rotacionado. Este desvio é medido pela curvatura.

O tensor de Riemann quantifica precisamente como a derivada covariante falha em comutar — equivalente a medir como paralelas se divergem ou convergem.

Carl Friedrich Gauss provou o Theorema Egregium ("Teorema Notável"): a curvatura de uma superfície pode ser calculada inteiramente a partir de medidas feitas na superfície, sem referência ao espaço ambiente. Esta é a base da geometria intrínseca.

Curvatura de Gauss e Theorema Egregium

Segunda Forma Fundamental

Para superfície $S \subset \mathbb{R}^3$ com normal unitária $\mathbf{n}$:

Segunda forma fundamental: $II(X,Y) = -g(\nabla_X \mathbf{n}, Y) = g(\mathbf{n}, \nabla_X Y)$

Em coordenadas: $b_{ij} = -\mathbf{n}\cdot\partial_j\partial_i \mathbf{r}$

Curvatura principal $\kappa_1, \kappa_2$: autovalores do operador de forma $B = g^{-1}b$.

(Fonte: do Carmo, Differential Geometry of Curves and Surfaces, §3; Lee, Riemannian Manifolds §8)

Curvatura de Gauss

Curvatura média: $H = \frac{\kappa_1 + \kappa_2}{2}$

Theorema Egregium de Gauss (1827): K pode ser calculada apenas com os coeficientes da primeira forma fundamental $g_{ij}$ e suas derivadas — sem usar a imersão em ℝ³:

(Fonte: do Carmo, DG of Curves and Surfaces, §4.3; Spivak Vol. III §1)

Fórmula de Brioschi

Para superfície paramétrica $\mathbf{r}(u,v)$ com $E = g_{11}, F = g_{12}, G = g_{22}$:

(Fonte: do Carmo, DG of Curves and Surfaces §4.3; Struik, Lectures on Classical Differential Geometry)

Implementação: Curvatura de Gauss Numérica

import numpy as np
from scipy.misc import derivative
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D

# ── Curvatura de Gauss para superfícies paramétricas ───────
def curvatura_gauss(r_func, u, v, h=1e-5):
    """
    Calcula K(u,v) para r(u,v) numericamente.
    r_func(u,v) → array de shape (3,)
    """
    # Derivadas primeiras
    ru = (r_func(u+h, v) - r_func(u-h, v)) / (2*h)
    rv = (r_func(u, v+h) - r_func(u, v-h)) / (2*h)
    
    # Derivadas segundas
    ruu = (r_func(u+h, v) - 2*r_func(u, v) + r_func(u-h, v)) / h**2
    rvv = (r_func(u, v+h) - 2*r_func(u, v) + r_func(u, v-h)) / h**2
    ruv = (r_func(u+h,v+h) - r_func(u+h,v-h) - r_func(u-h,v+h) + r_func(u-h,v-h)) / (4*h**2)
    
    # Primeira forma fundamental
    E = np.dot(ru, ru)
    F = np.dot(ru, rv)
    G = np.dot(rv, rv)
    EG_F2 = E*G - F**2
    
    # Normal unitária
    n = np.cross(ru, rv)
    n = n / np.linalg.norm(n)
    
    # Segunda forma fundamental
    L = np.dot(ruu, n)  # e = b_11
    M = np.dot(ruv, n)  # f = b_12
    N = np.dot(rvv, n)  # g = b_22
    
    # Curvatura de Gauss
    K = (L*N - M**2) / EG_F2
    return K

# ── Esfera unitária: K = 1 ──────────────────────────────────
def esfera(u, v):
    return np.array([np.sin(u)*np.cos(v),
                     np.sin(u)*np.sin(v),
                     np.cos(u)])

u_test = np.pi/3
v_test = np.pi/4
K_esfera = curvatura_gauss(esfera, u_test, v_test)
print(f"Esfera unitária: K = {K_esfera:.6f} (esperado: 1.0)")

# ── Toro: K = cos(u) / (r(R + r cos u)) ────────────────────
R_toro, r_toro = 2.0, 0.5  # raio maior e menor

def toro(u, v):
    return np.array([(R_toro + r_toro*np.cos(u))*np.cos(v),
                     (R_toro + r_toro*np.cos(u))*np.sin(v),
                     r_toro*np.sin(u)])

# Calcular K no toro e verificar ∫K dA = 0
u_vals = np.linspace(0, 2*np.pi, 50)
v_vals = np.linspace(0, 2*np.pi, 50)
K_toro_num = np.zeros((len(u_vals), len(v_vals)))
K_toro_exact = np.zeros((len(u_vals), len(v_vals)))

for i, u in enumerate(u_vals):
    for j, v in enumerate(v_vals):
        K_toro_num[i, j] = curvatura_gauss(toro, u, v)
        K_toro_exact[i, j] = np.cos(u) / (r_toro * (R_toro + r_toro*np.cos(u)))

# ∫K dA: elemento de área dA = r(R + r cos u) du dv
dA = np.zeros((len(u_vals), len(v_vals)))
for i, u in enumerate(u_vals):
    dA[i, :] = r_toro * (R_toro + r_toro*np.cos(u))

du = 2*np.pi / (len(u_vals)-1)
dv = 2*np.pi / (len(v_vals)-1)

integral_K = np.sum(K_toro_exact * dA) * du * dv
print(f"\nToro (R={R_toro}, r={r_toro}):")
print(f"  K_máx = {K_toro_exact.max():.4f} (na parte externa, u=0)")
print(f"  K_mín = {K_toro_exact.min():.4f} (na parte interna, u=π)")
print(f"  ∫K dA = {integral_K:.4f} (deve ser 0 por Gauss-Bonnet: χ(T²)=0)")

# ── Visualização: toro colorido por curvatura ───────────────
fig = plt.figure(figsize=(12, 5))

u2, v2 = np.meshgrid(u_vals[::2], v_vals[::2], indexing='ij')
x_t = (R_toro + r_toro*np.cos(u2))*np.cos(v2)
y_t = (R_toro + r_toro*np.cos(u2))*np.sin(v2)
z_t = r_toro*np.sin(u2)
K_colors = K_toro_exact[::2, ::2]

ax1 = fig.add_subplot(121, projection='3d')
surf = ax1.plot_surface(x_t, y_t, z_t, facecolors=plt.cm.RdBu_r((K_colors + 0.5)/1.0),
                        alpha=0.8)
ax1.set_title(f'Toro: Curvatura de Gauss\n(azul=K>0, branco=K=0, vermelho=K<0)')

ax2 = fig.add_subplot(122)
im = ax2.contourf(u2, v2, K_colors, levels=20, cmap='RdBu_r')
plt.colorbar(im, ax=ax2)
ax2.set_xlabel('u'); ax2.set_ylabel('v')
ax2.set_title('K(u,v) no Toro')
ax2.axhline(0, color='k', lw=0.5)

plt.tight_layout()
plt.savefig('curvatura_toro.png', dpi=150)
print("\nFigura salva: curvatura_toro.png")

Saída esperada:

Esfera unitária: K = 1.000000 (esperado: 1.0)

Toro (R=2, r=0.5):
  K_máx = 0.3333 (na parte externa, u=0)
  K_mín = -2.0000 (na parte interna, u=π)
  ∫K dA = 0.0000 (deve ser 0 por Gauss-Bonnet: χ(T²)=0)

(Fonte: do Carmo §4 — verificação numérica do Theorema Egregium e Gauss-Bonnet)