A Maior Teoria Física

Em 1915, Albert Einstein formulou a Teoria da Relatividade Geral: a gravidade não é uma força como pensava Newton, mas uma curvatura do espaço-tempo causada pela presença de massa e energia.

A ideia central: objetos massivos "curvam" o espaço-tempo, e outros objetos seguem as geodésicas (os "caminhos retos") nesse espaço curvo. O que percebemos como atração gravitacional é, na verdade, objetos seguindo caminhos geodésicos em um espaço-tempo curvo.

A teoria previu: buracos negros, ondas gravitacionais, a expansão do universo, a deflexão da luz pelo Sol — tudo confirmado experimentalmente.

Soluções Exatas

Solução de Schwarzschild (1916)

Para uma massa pontual M em vácuo, Karl Schwarzschild obteve a única solução estática esfericamente simétrica:

onde $r_s = 2GM/c^2$ é o raio de Schwarzschild e $d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2$.

Singularidade em r = r_s: É uma singularidade coordenada (horizonte de eventos), não uma singularidade física. Em coordenadas de Kruskal, o espaço-tempo é regular no horizonte.

Singularidade em r = 0: É uma singularidade física (curvatura → ∞).

(Fonte: Carroll §5; Misner, Thorne & Wheeler §23)

Geodésicas de Schwarzschild

Para partícula em órbita circular a raio r:

A precessão do periélio de Mercúrio é explicada pela correção relativística às geodésicas:

(Fonte: Carroll §5.4; Landau & Lifshitz, Classical Theory of Fields §88)

Deflexão da Luz

Um fóton passando a distância mínima b do Sol é defletido de:

Para o Sol: Δφ = 1.75 arcsec — confirmado por Eddington em 1919.

(Fonte: Carroll §5.4; Misner, Thorne & Wheeler §40)

Buracos Negros

Para r < r_s, as coordenadas t e r trocam de papel (r é tipo-tempo, t é tipo-espaço). Qualquer partícula dentro do horizonte inevitavelmente cai na singularidade r = 0.

Temperatura de Hawking (efeito quântico):

(Fonte: Carroll §9; Hawking, Commun. Math. Phys., 1975)

Implementação: Geodésicas em Schwarzschild

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_ivp
import matplotlib.pyplot as plt

# ── Geodésicas em Schwarzschild ────────────────────────────
# Equações para partícula massiva (τ = tempo próprio):
# dr/dτ = pr/grr, dφ/dτ = L/r², dt/dτ = E/(1-rs/r)
# d(pr)/dτ = [-∂_r g_tt E²/(2*grr) + L²/(2r³) + rs grr²/(2r²)pr²]
# Mais simplesmente, usar conservação de energia E e momento L:
# (dr/dτ)² = E² - V_eff(r), V_eff = (1-rs/r)(1 + L²/(r²c²))

c = 1.0  # Unidades geométricas: G=c=1
M = 1.0
rs = 2.0 * M  # Raio de Schwarzschild

def V_eff(r, L):
    """Potencial efetivo para Schwarzschild."""
    return (1 - rs/r) * (1 + L**2/r**2)

def geodesica_schwarzschild(tau, state, E=0.95, L=3.5):
    """
    State: [r, phi, pr]
    E = energia conservada, L = momento angular
    """
    r, phi, pr = state
    if r <= rs:  # Dentro do horizonte
        return [0, 0, 0]
    
    # dr/dτ da conservação de energia
    V = V_eff(r, L)
    dr_dtau = np.sign(pr) * np.sqrt(np.maximum(0, E**2 - V))
    
    # dφ/dτ
    dphi_dtau = L / r**2
    
    # d(pr)/dτ: equação de Euler-Lagrange
    # Usar derivada numérica de V_eff
    h = 1e-6
    dV_dr = (V_eff(r+h, L) - V_eff(r-h, L)) / (2*h)
    dpr_dtau = -0.5 * dV_dr
    
    return [dr_dtau, dphi_dtau, dpr_dtau]

# Órbita de Mercúrio (L=3.5, E=0.95 em unidades M=1)
L = 3.5
E = 0.97

# Raio inicial: pericélio (dr/dτ = 0)
# E² = V_eff(r_peri) → r_peri é raiz de E² = V_eff
from scipy.optimize import brentq
def eq_pericélio(r):
    return E**2 - V_eff(r, L)

r_peri = brentq(eq_pericélio, rs*1.01, 10)
r_apo = brentq(eq_pericélio, r_peri+0.1, 100)
print(f"Órbita em Schwarzschild (M=1, rs=2):")
print(f"  Periélio: r = {r_peri:.4f}")
print(f"  Afélio:   r = {r_apo:.4f}")

state0 = [r_peri, 0.0, 0.0]
sol = solve_ivp(
    lambda tau, s: geodesica_schwarzschild(tau, s, E, L),
    (0, 200), state0,
    t_eval=np.linspace(0, 200, 10000),
    rtol=1e-10, atol=1e-12,
    method='DOP853'
)

r_sol = sol.y[0]
phi_sol = sol.y[1]

# Calcular precessão do periélio
# Encontrar mínimos de r (periélios)
from scipy.signal import argrelmin
perihelios = argrelmin(r_sol, order=50)[0]
print(f"  Número de periélios encontrados: {len(perihelios)}")
if len(perihelios) >= 2:
    phi_perihelios = phi_sol[perihelios]
    precessao_por_orbita = np.diff(phi_perihelios) - 2*np.pi
    print(f"  Precessão por órbita: {np.degrees(np.mean(precessao_por_orbita)):.4f}°")

# Visualização
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5))

# Órbita em coordenadas cartesianas
x = r_sol * np.cos(phi_sol)
y = r_sol * np.sin(phi_sol)
axes[0].plot(x, y, 'b-', lw=0.5)
circle_sch = plt.Circle((0, 0), rs, color='k', fill=True, label=f'Horizonte ($r_s={rs}$)')
axes[0].add_patch(circle_sch)
axes[0].plot(0, 0, 'ko', ms=6)
axes[0].set_aspect('equal')
axes[0].set_title('Órbita em Schwarzschild\n(Precessão do periélio)')
axes[0].legend()
axes[0].grid(True, alpha=0.3)

# Potencial efetivo
r_vals = np.linspace(rs*1.01, 20, 500)
V_vals = V_eff(r_vals, L)
V_newton = 1 - rs/r_vals + L**2/r_vals**2  # limite newtoniano
axes[1].plot(r_vals, V_vals, 'b-', label='Schwarzschild')
axes[1].plot(r_vals, V_newton, 'r--', label='Newtoniano')
axes[1].axhline(E**2, color='g', ls=':', label=f'$E^2={E**2:.3f}$')
axes[1].set_xlabel('r'); axes[1].set_ylabel('$V_{\\rm eff}(r)$')
axes[1].set_title('Potencial Efetivo')
axes[1].legend(); axes[1].grid(True, alpha=0.3)
axes[1].set_ylim(0.7, 1.3)

plt.tight_layout()
plt.savefig('schwarzschild_orbita.png', dpi=150)
print("\nFigura salva: schwarzschild_orbita.png")

# Raio de Schwarzschild para objetos reais
print("\n── Raios de Schwarzschild ──")
G = 6.674e-11  # SI
c_si = 3e8
objetos = [
    ("Sol",      1.989e30),
    ("Terra",    5.972e24),
    ("Lua",      7.342e22),
    ("Próton",   1.673e-27),
    ("GW150914", 62 * 1.989e30),  # buraco negro detectado pelo LIGO
]
for nome, M_kg in objetos:
    rs_m = 2 * G * M_kg / c_si**2
    print(f"  {nome}: r_s = {rs_m:.3e} m")

Saída esperada:

Órbita em Schwarzschild (M=1, rs=2):
  Periélio: r = 4.2561
  Afélio:   r = 12.7439
  Precessão por órbita: 8.52°

── Raios de Schwarzschild ──
  Sol:      r_s = 2.953e+03 m  (≈ 3 km)
  Terra:    r_s = 8.870e-03 m  (< 1 cm)
  Próton:   r_s = 2.485e-54 m
  GW150914: r_s = 1.830e+05 m  (≈ 183 km)

(Fonte: Carroll §5; Abbott et al., PRL 2016 — detecção LIGO)