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Workshop — Análise Tensorial e Geometria Diferencial

Workshop integrativo da Unidade 4: problemas combinando tensores, formas diferenciais, variedades, geometria riemanniana, curvatura, Gauss-Bonnet, Stokes generalizado, fibrados vetoriais e relatividade geral.

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Workshop: Revisão Completa da Unidade 4

Este workshop integra todos os temas da Unidade 4: Tensores e Notação de Índices, Formas Diferenciais, Variedades Diferenciáveis, Geometria Riemanniana, Curvatura e Geodésicas, Teorema de Gauss-Bonnet, Teorema de Stokes e Aplicações, Fibrados Vetoriais e Relatividade Geral.

Os problemas são organizados em três blocos, do fundamental ao nível de exames de pós-graduação.

Example

Síntese Final: Conexões entre Temas da Unidade 4

A tabela a seguir resume como os teoremas fundamentais se conectam através das unidades.

Teorema	Hipótese	Conclusão	Referência
Lema de Poincaré	$d\omega = 0$ em $\mathbb{R}^n$	$\omega = d\eta$	Bott & Tu §1
Stokes Generalizado	$\omega \in \Omega^{n-1}(M)$ , M orientada	$\int_M d\omega = \int_{\partial M}\omega$	Spivak §5
Gauss-Bonnet	$(M^2,g)$ compacta	$\iint K\,dA = 2\pi\chi(M)$	do Carmo §4.5
Hopf-Rinow	M completa	Geodésicas existem para todo tempo	do Carmo §7
Bonnet-Myers	$\mathrm{Ric} \geq (n-1)\kappa > 0$	M compacta	Lee §11
Atiyah-Singer	D elíptico	$\mathrm{ind}(D) = \int_M \hat{A}(TM)$	Ann. Math. 1968
Bekenstein-Hawking	BN Schwarzschild	$S = k_B A/(4\ell_P^2)$	PRD 1973

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Referências da Unidade 4

Tensores e Geometria Diferencial

do Carmo, M. P. Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice-Hall, 1976. §§3–4 (curvatura de superfícies, Theorema Egregium, Gauss-Bonnet).
do Carmo, M. P. Riemannian Geometry. Birkhäuser, 1992. §§1–12 (variedades, conexões, curvatura, geodésicas, teoremas de comparação).
do Carmo, M. P. Differential Forms and Applications. Springer, 1994.
Lee, J. M. Introduction to Smooth Manifolds. 2.ª ed., Springer, 2013. §§1–6, 8, 10–15 (variedades, mapas suaves, fibrado tangente, fibrados vetoriais, formas).
Lee, J. M. Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature. Springer, 1997. §§3–12 (conexão, curvatura, geodésicas, comparação).
Spivak, M. Calculus on Manifolds. W. A. Benjamin, 1965. §§4–5 (formas diferenciais, Stokes).
Spivak, M. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. V. Publish or Perish, 1975. §13 (Gauss-Bonnet-Chern).
Milnor, J. Topology from the Differentiable Viewpoint. Princeton, 1965. §§3–6 (grau, índice, Gauss-Bonnet, Pontryagin-Hopf).
Milnor, J. Morse Theory. Princeton, 1963. §§13–16 (geodésicas, pontos conjugados, índice de Morse).
Milnor, J.; Stasheff, J. Characteristic Classes. Princeton, 1974. §§1, 14 (classes de Stiefel-Whitney, Chern, Pontryagin).
Bott, R.; Tu, L. W. Differential Forms in Algebraic Topology. Springer, 1982. §§1–17 (formas, cohomologia, Künneth, classes características, Chern-Weil).
Warner, F. W. Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups. Springer, 1983. §§1, 5–6.
Kobayashi, S.; Nomizu, K. Foundations of Differential Geometry, Vol. I. Wiley, 1963. §§I–IV (fibrados, conexões, holonomia, Ambrose-Singer).
Nakahara, M. Geometry, Topology and Physics. 2.ª ed., IOP, 2003. §§9–13 (fibrados, holonomia, classes características, Atiyah-Singer, Yang-Mills).
Struik, D. J. Lectures on Classical Differential Geometry. 2.ª ed., Dover, 1988.
Pressley, A. Elementary Differential Geometry. Springer, 2001.

Relatividade Geral

Carroll, S. Spacetime and Geometry: An Introduction to General Relativity. Cambridge, 2019. §§1–10 (manifolds, curvatura, equações de Einstein, Schwarzschild, cosmologia, ondas gravitacionais).
Misner, C. W.; Thorne, K. S.; Wheeler, J. A. Gravitation. Freeman, 1973. §§1–6, 17–18, 25–26, 35–37 (tensores, equações de campo, limite newtoniano, Schwarzschild, ondas).
Wald, R. M. General Relativity. Univ. Chicago Press, 1984. §§12.4–12.5 (termodinâmica de buracos negros).
Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. Classical Theory of Fields. 4.ª ed., Butterworth-Heinemann, 1975. §§86–100, 106–114 (ondas gravitacionais, cosmologia).
Chandrasekhar, S. The Mathematical Theory of Black Holes. Oxford, 1983.
Schutz, B. F. A First Course in General Relativity. 2.ª ed., Cambridge, 2009.
Hawking, S. W. "Particle Creation by Black Holes." Commun. Math. Phys. 43 (1975) 199–220.
Bekenstein, J. D. "Black Holes and Entropy." Phys. Rev. D 7 (1973) 2333–2346.
Hulse, R. A.; Taylor, J. H. "Discovery of a Pulsar in a Binary System." ApJ 195 (1975) L51–L53.
Abbott, B. P. et al. (LIGO) "Observation of Gravitational Waves from a Binary Black Hole Merger." Phys. Rev. Lett. 116 (2016) 061102.
Maldacena, J. "The Large N Limit of Superconformal Field Theories and Supergravity." Int. J. Theor. Phys. 38 (1999) 1113–1133.

Topologia e Classes Características

Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge, 2002. (cohomologia, sequência de Mayer-Vietoris).
Atiyah, M. F.; Singer, I. M. "The Index of Elliptic Operators I–III." Ann. Math. 87 (1968) 484–530; 87 (1968) 531–545; 87 (1968) 546–604.
Atiyah, M. F. K-Theory. W. A. Benjamin, 1967.
Atiyah, M. F.; Bott, R. "The Yang-Mills Equations over Riemann Surfaces." Phil. Trans. R. Soc. London A 308 (1983) 523–615.
Donaldson, S. K. "Self-Dual Connections and the Topology of Smooth 4-Manifolds." J. Diff. Geom. 18 (1983) 279–315.
Lawson, H. B.; Michelsohn, M.-L. Spin Geometry. Princeton, 1989. §§III.13–14, IV.3.
Chern, S.-S. "A Simple Intrinsic Proof of the Gauss-Bonnet Formula for Closed Riemannian Manifolds." Ann. Math. 45 (1944) 747–752.
Nash, C.; Sen, S. Topology and Geometry for Physicists. Academic Press, 1983.
Bleecker, D. Gauge Theory and Variational Principles. Addison-Wesley, 1981.

Mecânica Contínua e Física Matemática

Synge, J. L.; Schild, A. Tensor Calculus. Dover, 1978.
Malvern, L. E. Introduction to the Mechanics of a Continuous Medium. Prentice-Hall, 1969. §3 (tensores na mecânica contínua).
Lovelock, D.; Rund, H. Tensors, Differential Forms, and Variational Principles. Wiley, 1975.
Flanders, H. Differential Forms with Applications to the Physical Sciences. Dover, 1989. §§2–4 (Maxwell, elasticidade).
Arnold, V. I.; Khesin, B. Topological Methods in Hydrodynamics. Springer, 1998.
Arnold, D. N.; Falk, R. S.; Winther, R. "Finite Element Exterior Calculus: From Hodge Theory to Numerical Stability." Acta Numerica 15 (2006) 1–155.