Equação de Black-Scholes

Modelo de Black-Scholes (1973)

Hipóteses

1. O preço $S_t$ do ativo subjacente segue um movimento browniano geométrico sob a medida $\Q$ neutra a risco:

$$dS_t = r S_t \, dt + \sigma S_t \, dW_t$$

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2. Mercado completo, sem fricção: sem custos de transação, posição short ilimitada, divisibilidade infinita.
3. $r$ e $\sigma$ constantes ao longo de $[0, T]$.
4. Sem dividendos (relaxável: substitui $r$ por $r - q$).
5. Ausência de arbitragem — princípio fundamental.

A EDP de Black-Scholes

Pelo lema de Itô aplicado a $V(S, t)$ e construção da carteira replicante (long $\Delta$ ações, short 1 opção), elimina-se o risco e a carteira deve render $r$. Daí:

$$\pdiff{V}{t} + \frac{1}{2}\sigma^2 S^2 \pdiff{^2 V}{S^2} + r S \pdiff{V}{S} - r V = 0$$

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com condição final $V(S, T) = \max(S - K, 0)$ para uma call europeia.

Solução fechada

$$C(S, t) = S \cdot N(d_1) - K\,\e^{-r(T-t)} N(d_2)$$

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onde

$$d_1 = \frac{\ln(S/K) + (r + \frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}, \quad d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T-t}$$

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e $N(\cdot)$ é a função de distribuição acumulada da normal padrão:

$$N(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x} \e^{-u^2/2} \, du$$

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Paridade put-call

$$C - P = S - K \e^{-r(T-t)}$$

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Os Greeks

Sensibilidades parciais do preço da opção. Toda mesa de derivativos do mundo monitora esses números.

$$\Delta_C = \pdiff{C}{S} = N(d_1)$$

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$$\Gamma = \pdiff{^2 C}{S^2} = \frac{N'(d_1)}{S \sigma \sqrt{T-t}}$$

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$$\nu = \pdiff{C}{\sigma} = S \sqrt{T-t} \cdot N'(d_1)$$

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(9)

$$\Theta_C = -\frac{S \sigma N'(d_1)}{2\sqrt{T-t}} - r K \e^{-r(T-t)} N(d_2)$$

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