Lição 1 — Conjuntos numéricos, intervalos, notação

1. Identifique a estrutura. Você tem uma inequação quadrática $x^2 - 5x + 6 \leq 0$. A pergunta pede a contagem de inteiros no conjunto solução, então o objetivo é primeiro encontrar o intervalo de números reais que satisfaz a desigualdade e só depois contar os inteiros dentro dele.
2. Fatore o trinômio. Procure dois números cuja soma seja $5$ (oposto do coeficiente de $x$, isto é, soma das raízes pela relação de Girard) e cujo produto seja $6$ (termo independente). Os números são $2$ e $3$, logo $x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$. As raízes da equação associada são $x = 2$ e $x = 3$.
3. Analise o sinal pela concavidade. O coeficiente de $x^2$ é $+1$, positivo, então a parábola tem concavidade para cima — uma "tigela" que toca o eixo $x$ em $2$ e $3$. Entre as raízes a parábola está abaixo do eixo (valores negativos); fora delas, acima (valores positivos). Como queremos $(x-2)(x-3) \leq 0$, ficamos com a região onde o produto é negativo ou zero.
4. Escreva o intervalo solução. A desigualdade é $\leq$ (não estrita), então as raízes $2$ e $3$ entram. O conjunto solução em $\mathbb{R}$ é o intervalo fechado $[2, 3]$.
5. Conte os inteiros do intervalo. Os inteiros pertencentes a $[2, 3]$ são exatamente $\{2, 3\}$. Logo, são 2 inteiros.

Atalho mental: numa quadrática com concavidade para cima, "$\leq 0$" significa "entre as raízes (incluídas)" e "$\geq 0$" significa "fora das raízes (incluídas)". Inverta para concavidade para baixo. Esse atalho economiza o teste de sinais quando você já reconheceu o sinal do coeficiente líder.

1. Reconheça o padrão "módulo grande". A inequação tem a forma $|u| > c$ com $u = 3x + 1$ e $c = 7 > 0$. Geometricamente, $|u|$ é a distância de $u$ até zero na reta real; queremos os pontos cuja distância até zero é estritamente maior que 7 — ou seja, quem está à esquerda de $-7$ ou à direita de $+7$.
2. Aplique a regra de quebra. Para $c > 0$, vale $|u| > c \iff u < -c$ ou $u > c$. Cuidado: é "ou" (união), não "e" (interseção). Substituindo, ficamos com $3x + 1 < -7$ ou $3x + 1 > 7$.
3. Resolva o ramo da esquerda. De $3x + 1 < -7$, subtraia 1 dos dois lados: $3x < -8$. Divida por 3 (positivo, sem inverter o sinal): $x < -8/3$. Em intervalo: $(-\infty, -8/3)$.
4. Resolva o ramo da direita. De $3x + 1 > 7$, subtraia 1: $3x > 6$. Divida por 3: $x > 2$. Em intervalo: $(2, +\infty)$.
5. Una os dois ramos. Como a regra produz "ou", o conjunto solução é a união: $(-\infty, -8/3) \cup (2, +\infty)$. Os parênteses são abertos porque a desigualdade original era estrita ($>$, sem igualdade).
6. Sanity check. Teste $x = 0$ (deve falhar, pois $0$ não pertence à solução): $|3 \cdot 0 + 1| = 1$, e $1 > 7$ é falso. Correto. Teste $x = 3$ (deve passar): $|3 \cdot 3 + 1| = 10 > 7$. Correto.

Macete: módulo "grande" ($|u| > c$) gera união de dois intervalos abertos para fora; módulo "pequeno" ($|u| < c$) gera um único intervalo aberto entre $-c$ e $+c$. Se $c \leq 0$, a análise muda — confira separadamente (ex.: $|u| > -3$ vale para todo real; $|u| < -3$ não tem solução).

1. Entenda o sistema. Você tem duas condições simultâneas (chave indica conjunção lógica "e"): $-3 \leq x \leq 5$ e $x^2 \geq 4$. A solução é a interseção dos dois conjuntos solução individuais — o que satisfaz uma condição e a outra ao mesmo tempo.
2. Traduza a primeira condição. A dupla desigualdade $-3 \leq x \leq 5$ já está em forma direta: trata-se do intervalo fechado $A = [-3, 5]$.
3. Resolva a segunda condição. De $x^2 \geq 4$, tire a raiz quadrada com cuidado: $\sqrt{x^2} = |x|$, então $|x| \geq 2$. Esse é o padrão "módulo grande" (lição: $|u| \geq c$ gera união), logo $x \leq -2$ ou $x \geq 2$. Em intervalo: $B = (-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$.
4. Faça a interseção $A \cap B$. Imagine os dois conjuntos sobre a reta: $A$ é um segmento de $-3$ a $5$; $B$ são duas semi-retas que evitam o miolo $(-2, 2)$. A sobreposição ocorre em duas faixas: de $-3$ até $-2$ (onde $A$ e a parte esquerda de $B$ coincidem) e de $2$ até $5$ (onde $A$ e a parte direita de $B$ coincidem).
5. Escreva a solução. Os extremos $-3, -2, 2, 5$ entram (todas as desigualdades originais são $\leq$ ou $\geq$, isto é, não estritas), então cada faixa é um intervalo fechado: $[-3, -2] \cup [2, 5]$.
6. Sanity check. Teste $x = 0$ (não deve estar na solução): satisfaz $-3 \leq 0 \leq 5$, mas $0^2 = 0 \not\geq 4$, falha — correto. Teste $x = -2{,}5$ (deve estar): $-3 \leq -2{,}5 \leq 5$ e $(-2{,}5)^2 = 6{,}25 \geq 4$, passa — correto.

Observação: ao tirar raiz quadrada de $x^2 \geq c$ com $c > 0$, sempre escreva $|x| \geq \sqrt{c}$, nunca apenas $x \geq \sqrt{c}$. Esquecer o módulo é o erro mais comum aqui — você perderia metade da solução (o ramo negativo).

1. Traduzir a notação $\pm$. "Tolerância de $\pm 0,3$ V em torno de 12 V" significa que o desvio entre a tensão medida $V$ e o valor nominal de 12 V não pode ultrapassar 0,3 V em módulo. Em linguagem matemática: $|V - 12| \leq 0,3$.
2. Abrir o módulo. A inequação $|V - 12| \leq 0,3$ é equivalente à dupla desigualdade $-0,3 \leq V - 12 \leq 0,3$. Esse é o passo padrão para qualquer $|x - a| \leq r$: a distância até $a$ é no máximo $r$, então $x$ vive entre $a - r$ e $a + r$.
3. Isolar $V$. Somando 12 nos três membros: $12 - 0,3 \leq V \leq 12 + 0,3$, ou seja, $11,7 \leq V \leq 12,3$.
4. Decidir colchete ou parêntese. A especificação diz que o equipamento aceita exatamente $\pm 0,3$ V — os extremos são válidos. Por isso usamos colchetes fechados: $V \in [11,7,\ 12,3]$ V.
5. Sanidade física. O comprimento do intervalo é $12,3 - 11,7 = 0,6$ V, exatamente $2 \times 0,3$. Isso é a "largura de tolerância" — o dobro da tolerância unilateral. Confere.

Aplicação. Esta é a tradução canônica de toda especificação de engenharia do tipo "valor nominal $\pm$ tolerância": vire módulo, abra em dupla desigualdade, leia o intervalo. Aparece em datasheet de resistor, fonte de alimentação, dimensional de peça usinada (ABNT NBR 6158) e calibração de sensor.

1. Identificar o domínio e as faixas. O litro produzido $q$ é um número real não negativo: $q \in [0, +\infty)$. O enunciado descreve três faixas de preço unitário: até 1.000 L, entre 1.000 e 5.000 L, e acima de 5.000 L. São três regras lineares diferentes — sinal claro de uma função por partes.
2. Cuidar da fronteira (a parte que mais derruba aluno). O enunciado diz "até 1.000 L paga R\$ 1,80/L; entre 1.000 e 5.000 L paga R\$ 2,00/L". Quem ganha o ponto exato $q = 1000$? A leitura justa de "até" inclui o extremo, então 1.000 L é pago a R\$ 1,80/L. O ponto seguinte ($q = 5000$) segue a mesma convenção: "entre 1.000 e 5.000" inclui 5.000 ao preço de R\$ 2,00. Em produção real, esta convenção tem que constar do contrato — ambiguidade aqui vira processo trabalhista cooperativo.
3. Escrever cada ramo como função afim. Como o preço unitário é constante dentro de cada faixa e o pagamento começa em zero (não há taxa fixa), cada ramo é da forma $P(q) = pq$, com $p$ = preço por litro daquela faixa.
4. Montar a função por partes.
   $P(q) = \begin{cases} 1{,}80\,q & \text{se } 0 \leq q \leq 1000 \\ 2{,}00\,q & \text{se } 1000 < q \leq 5000 \\ 2{,}30\,q & \text{se } q > 5000 \end{cases}$
5. Testar a continuidade nas fronteiras. Em $q = 1000$: ramo 1 dá $1,80 \times 1000 = 1\,800$; ramo 2 (limite à direita) daria $2,00 \times 1000 = 2\,000$. Há um salto de R\$ 200. Em $q = 5000$: ramo 2 dá $10\,000$; ramo 3 daria $11\,500$ — outro salto, de R\$ 1.500. A função é descontínua nos pontos de fronteira.
6. Interpretar economicamente. A descontinuidade significa que produzir 1 L a mais exatamente em $q = 1000$ faz o pagamento dar um salto — incentivo perverso, comum em tabelas de bonificação. Em modelos profissionais usa-se com frequência uma versão contínua: pagar R\$ 1,80 nos primeiros 1.000 L e R\$ 2,00 só sobre o excedente (estrutura "marginal", como a do imposto de renda).

Observação. Esta é uma "função afim por partes" e voltará formalmente na Lição 3. Pegue agora o reflexo: faixa do enunciado vira intervalo do cases, atenção máxima a quem possui o ponto de fronteira, e sempre teste continuidade — modelos descontínuos sinalizam regra de negócio mal desenhada.

1. Ler a faixa de aceitação. O intervalo $[6,0,\ 9,5]$ é fechado nos dois extremos — colchetes em ambos os lados. Logo a regra de filtro é $6,0 \leq \text{pH} \leq 9,5$, com igualdade permitida nas pontas. Os extremos são potáveis.
2. Listar as amostras. A turma recebeu 9 leituras de pH: $5,8$, $6,1$, $6,5$, $7,0$, $7,3$, $8,9$, $9,5$, $9,8$, $10,2$. O método é simples: para cada amostra, perguntar "está em $[6,0,\ 9,5]$?"
3. Filtrar amostra por amostra.
   • $5,8$: $5,8 < 6,0$ — FORA (abaixo do mínimo, água ácida demais).
   • $6,1$: $6,0 \leq 6,1 \leq 9,5$ — DENTRO.
   • $6,5$: DENTRO.
   • $7,0$: DENTRO (pH neutro, a água "ideal").
   • $7,3$: DENTRO.
   • $8,9$: DENTRO.
   • $9,5$: borda exata. Como o intervalo é fechado em 9,5, esta amostra está DENTRO. Esse é o detalhe pedagógico do exercício: borda inclusa conta.
   • $9,8$: $9,8 > 9,5$ — FORA (alcalina demais).
   • $10,2$: FORA.
4. Coletar e contar. O conjunto das amostras dentro é $\{6,1,\ 6,5,\ 7,0,\ 7,3,\ 8,9,\ 9,5\}$, totalizando 6 amostras de 9.
5. Sanidade. 3 amostras ficaram fora: uma abaixo (5,8) e duas acima (9,8 e 10,2). $6 + 3 = 9$, bate com o total. Se o resultado fosse 5 ou 7, haveria erro de borda — quase sempre na inclusão/exclusão do extremo.