v1 · padrão canônico

Lição 4 — Função quadrática

Função quadrática f(x) = ax² + bx + c. Discriminante, raízes (Bhaskara), forma canônica, vértice, concavidade, eixo de simetria, sinal, máximo e mínimo. Otimização de área, custo e lucro.

Used in: 1.º ano do EM (15–16 anos) · Math I japonês cap. 2 · Klasse 10 alemã · O-level Singapore cap. 2 · ENEM

f(x) = ax^2 + bx + c, \quad a \neq 0

Função quadrática — polinomial de 2.º grau. O gráfico é uma parábola: abre pra cima se $a > 0$ , pra baixo se $a < 0$ . O ponto mais alto ou mais baixo é o vértice $V = (-b/(2a),\ -\Delta/(4a))$ .

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definição rigorosa

"A quadratic function is a polynomial function of degree 2. The graph of a quadratic function is a parabola." — OpenStax College Algebra 2e, §5.1

Raízes — Fórmula de Bhaskara

O discriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ determina a natureza das raízes de $ax^2 + bx + c = 0$ :

x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad \Delta = b^2 - 4ac

what this means · Fórmula resolutiva (Bhaskara): Δ > 0 → duas raízes reais distintas; Δ = 0 → raiz dupla real; Δ < 0 → nenhuma raiz real (duas complexas conjugadas).

Vértice e forma canônica

Completando o quadrado em $ax^2 + bx + c$ , obtemos a forma canônica:

f(x) = a(x - x_V)^2 + y_V

what this means · Forma canônica: revela diretamente vértice V = (xV, yV), eixo de simetria x = xV e valor extremo yV.

onde as coordenadas do vértice são:

x_V = -\frac{b}{2a}, \qquad y_V = f(x_V) = -\frac{\Delta}{4a}

what this means · xV é também a média das raízes (quando existem). yV é o valor mínimo se a > 0, máximo se a < 0.

Parábolas — figura geométrica

Esquerda: a > 0, concavidade pra cima, vértice é mínimo. Direita: a < 0, concavidade pra baixo, vértice é máximo. Pontos laranja: raízes (zeros da função). Linha tracejada: eixo de simetria.

Relações de Vieta

Se $x_1, x_2$ são as raízes de $ax^2 + bx + c = 0$ (quando $\Delta \geq 0$ ):

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

what this means · Relações de Girard-Vieta: soma e produto das raízes expressos diretamente pelos coeficientes, sem necessidade de achar as raízes individualmente.

"The vertex of the parabola is the maximum point if $a < 0$ or the minimum point if $a > 0$ ." — OpenStax College Algebra 2e, §5.1

Sinal da função quadrática

Com raízes $x_1 \leq x_2$ (quando $\Delta > 0$ ) e $a > 0$ : $f(x) \leq 0$ para $x \in [x_1, x_2]$ ; $f(x) \geq 0$ para $x \leq x_1$ ou $x \geq x_2$ . Se $a < 0$ , os sinais invertem.

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — da aplicação direta de Bhaskara à otimização de lucro. Cada exemplo cita o livro-fonte.

Example— 1· Bhaskara — resolução completa (aplicação)

Problema: Resolva $2x^2 - 7x + 3 = 0$ .

Estratégia: Identificar $a, b, c$ ; calcular $\Delta$ ; aplicar a fórmula resolutiva; verificar com as relações de Vieta.

Resolução:

Coeficientes. $a = 2$ , $b = -7$ , $c = 3$ .
Discriminante. $\Delta = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25 > 0$ . Duas raízes reais distintas.
Bhaskara. $x = \dfrac{7 \pm \sqrt{25}}{4} = \dfrac{7 \pm 5}{4}$ $x = \frac{7 \pm 25}{4} = \frac{7 \pm 5}{4}$ .
- $x_1 = \dfrac{7 + 5}{4} = 3$
- $x_2 = \dfrac{7 - 5}{4} = \dfrac{1}{2}$
Fatoração. $2(x - 3)(x - \tfrac{1}{2}) = (x - 3)(2x - 1)$ .

Verificação (Vieta): $x_1 + x_2 = 3 + \tfrac{1}{2} = \tfrac{7}{2} = -b/a = 7/2$ ✓ e $x_1 \cdot x_2 = 3/2 = c/a = 3/2$ ✓.

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §5.3 — licença CC-BY 4.0.

Example— 2· Vértice, forma canônica e concavidade (intermediário)

Problema: Para $f(x) = -3x^2 + 12x - 7$ , determine o vértice, a forma canônica, a concavidade e o valor máximo.

Estratégia: Usar $x_V = -b/(2a)$ , calcular $y_V = f(x_V)$ , montar a forma canônica; a concavidade vem do sinal de $a$ .

Resolução:

$x_V$ . $x_V = -12/(2 \cdot (-3)) = -12/(-6) = 2$ .
$y_V$ . $f(2) = -3(4) + 12(2) - 7 = -12 + 24 - 7 = 5$ .
Forma canônica. $f(x) = -3(x - 2)^2 + 5$ .
Concavidade. $a = -3 < 0$ : parábola abre pra baixo. Vértice é máximo.
Valor máximo de $f$ : $y_V = 5$ , atingido em $x = 2$ .

Verificação: Expandir $-3(x-2)^2 + 5 = -3(x^2 - 4x + 4) + 5 = -3x^2 + 12x - 12 + 5 = -3x^2 + 12x - 7$ ✓.

Fonte. Stitz–Zeager — Precalculus §2.3 — licença CC-BY-NC-SA.

Example— 3· Inequação quadrática com análise de sinal (intermediário)

Problema: Resolva $x^2 - 2x - 8 \leq 0$ .

Estratégia: Encontrar as raízes da equação associada; usar a concavidade para determinar onde a parábola está abaixo do eixo $x$ .

Resolução:

Raízes. $x^2 - 2x - 8 = 0$ : $\Delta = 4 + 32 = 36$ . $x = (2 \pm 6)/2$ : $x_1 = -2$ , $x_2 = 4$ .
Fatoração. $(x + 2)(x - 4) = 0$ .
Análise de sinal. $a = 1 > 0$ : parábola "sorridente". Está abaixo do eixo ( $f \leq 0$ ) entre as raízes, incluindo os extremos (desigualdade não-estrita).
Solução. $x \in [-2, 4]$ .

Verificação:

Em $x = 0$ (interno): $0 - 0 - 8 = -8 \leq 0$ ✓.
Em $x = 5$ (externo): $25 - 10 - 8 = 7 > 0$ ✓ (não na solução).
Em $x = -2$ (borda): $4 + 4 - 8 = 0 \leq 0$ ✓ (incluído).

Fonte. OpenStax — College Algebra 2e §5.3 — licença CC-BY 4.0.

Example— 4· Otimização de área com cerca retangular (avançado)

Problema: Um produtor tem 120 m de cerca e quer cercar um pasto retangular contra um muro existente (a cerca cobre apenas 3 lados). Quais dimensões maximizam a área?

Estratégia: Modelar a área em função de uma única variável usando a restrição de comprimento de cerca. O vértice da quadrática resultante dá o máximo.

Resolução:

Variáveis. Seja $x$ a profundidade (lados perpendiculares ao muro) e $y$ a largura paralela ao muro. Cerca: $2x + y = 120 \Rightarrow y = 120 - 2x$ .
Área. $A(x) = x \cdot y = x(120 - 2x) = 120x - 2x^2$ .
Domínio físico. $x > 0$ e $y > 0 \Rightarrow x \in (0, 60)$ .
Vértice. $a = -2 < 0$ — tem máximo. $x_V = -120/(2 \cdot (-2)) = 30$ m. $y = 120 - 60 = 60$ m.
Área máxima. $A(30) = 30 \cdot 60 = 1800$ m².

Verificação: $A(25) = 25 \cdot 70 = 1750 < 1800$ ✓ e $A(35) = 35 \cdot 50 = 1750 < 1800$ ✓.

Observação. A relação ótima é $y = 2x$ (a dimensão paralela ao muro é o dobro da perpendicular). Esse resultado generaliza: com $n$ lados cobertos, o ótimo divide igualmente o comprimento disponível entre os lados com cerca.

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 6 — licença livre.

Example— 5· Maximização de lucro de monopolista (modelagem real)

Problema: Uma empresa tem receita $R(q) = 180q$ (R$/u, preço fixo) e custo $C(q) = 2q^2 + 20q + 500$ . Determine a quantidade que maximiza o lucro e calcule o lucro máximo.

Estratégia: Definir $L(q) = R(q) - C(q)$ ; identificar como quadrática; usar o vértice.

Resolução:

Lucro. $L(q) = 180q - (2q^2 + 20q + 500) = -2q^2 + 160q - 500$ .
Concavidade. $a = -2 < 0$ : tem máximo.
$q^*$ . $q_V = -160/(2 \cdot (-2)) = 160/4 = 40$ unidades.
Lucro máximo. $L(40) = -2(1600) + 160(40) - 500 = -3200 + 6400 - 500 = 2700$ reais.
Verificação: $L(39) = -2(1521) + 6240 - 500 = -3042 + 5740 = 2698 < 2700$ ✓.

Interpretação (MR = MC): Receita marginal $R'(q) = 180$ ; custo marginal $C'(q) = 4q + 20$ . Igualando: $4q + 20 = 180 \Rightarrow q = 40$ — o vértice da quadrática coincide com o ponto ótimo da microeconomia.

Fonte. Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs cap. 6 — licença livre.

Exercise list

42 exercises · 10 with worked solution (25%)

Application 16Understanding 8Modeling 8Challenge 6Proof 4

Ex. 4.1Application
Resolva $x^2 - 5x + 6 = 0$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Example 5.22 · p. 502
Show solution
Coeficientes: $a=1, b=-5, c=6$ . Discriminante: $\Delta = 25 - 24 = 1$ . Raízes: $x = (5 \pm 1)/2$ , logo $x_1 = 3$ e $x_2 = 2$ . Verificação por Vieta: $3 + 2 = 5 = -b/a$ ✓; $3 \cdot 2 = 6 = c/a$ ✓.
Show step-by-step (with the why)
1. Tente fatorar. Procure dois inteiros cuja soma seja $5$ e produto seja $6$ : são $2$ e $3$ . Logo $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ .
2. Aplique o produto-zero. $(x-2)(x-3) = 0 \Rightarrow x = 2$ ou $x = 3$ .
3. (Alternativa) Bhaskara. $\Delta = 25 - 24 = 1$ ; $x = (5 \pm 1)/2$ . Mesmo resultado.
4. Verifique por Vieta. Soma $= 5 = -b/a$ ✓; produto $= 6 = c/a$ ✓.
Macete: para quadráticas com coeficientes inteiros pequenos, tente fatorar antes de aplicar Bhaskara. Reserve a fórmula para raízes irracionais ou coeficientes fracionários.
Ex. 4.2Application
Resolva $2x^2 + 5x - 3 = 0$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Example 5.23 · p. 502
Show solution
$a = 2, b = 5, c = -3$ . $\Delta = 25 + 24 = 49$ . $x = (-5 \pm 7)/4$ : $x_1 = 1/2$ , $x_2 = -3$ . Vieta: $1/2 + (-3) = -5/2 = -b/a$ ✓; $(1/2)(-3) = -3/2 = c/a$ ✓.
Ex. 4.3Application
Resolva $4x^2 - 12x + 9 = 0$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Example 5.24 · p. 503
Show solution
$\Delta = 144 - 144 = 0$ . Raiz dupla: $x = 12/(2 \cdot 4) = 3/2$ . Fatoração: $(2x - 3)^2 = 0$ .
Ex. 4.4Application
Verifique se $x^2 + x + 1 = 0$ tem raízes reais.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Example 5.22 · p. 502
Show solution
$\Delta = 1 - 4 = -3 < 0$ : nenhuma raiz real. As duas raízes são complexas conjugadas $x = (-1 \pm i\sqrt{3})/2$ — tema de álgebra linear avançada.
Ex. 4.5ApplicationAnswer key
Resolva $x^2 - 7x + 10 = 0$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · ex. 2 · p. 163
Show solution
$a=1, b=-7, c=10$ . $\Delta = 49 - 40 = 9$ . $x = (7 \pm 3)/2$ : $x_1 = 5$ , $x_2 = 2$ . Vieta: $5 + 2 = 7 = -b/a$ ✓; $5 \cdot 2 = 10 = c/a$ ✓.
Ex. 4.6ApplicationAnswer key
Resolva $x^2 + 2x - 4 = 0$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Practice 5.23 · p. 504
Show solution
$\Delta = 4 + 16 = 20$ . $x = (-2 \pm \sqrt{20})/2 = (-2 \pm 2\sqrt{5})/2 = -1 \pm \sqrt{5}$ . Raízes irracionais — Bhaskara indispensável aqui.
Ex. 4.7Understanding
Determine os valores de $k$ para que $x^2 + 2x + k = 0$ tenha duas raízes reais distintas.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Practice 5.25 · p. 504
Show solution
$a = 1, b = 2, c = k$ . $\Delta = 4 - 4k$ . Para duas raízes reais distintas: $\Delta > 0 \Rightarrow 4 - 4k > 0 \Rightarrow k < 1$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Escreva o discriminante. $\Delta = b^2 - 4ac = 4 - 4k$ .
2. Critério de duas raízes distintas. Exige-se $\Delta > 0$ (estritamente positivo).
3. Resolva a inequação. $4 - 4k > 0 \Rightarrow k < 1$ .
4. Sanity check. $k = 0$ : $x(x+2) = 0$ , raízes $0$ e $-2$ ✓. $k = 1$ : $(x+1)^2$ , raiz dupla ✓. $k = 2$ : $\Delta = -4$ , sem raízes reais ✓.
Macete: o discriminante é o "termômetro" da quadrática. Memorize: $\Delta > 0$ = duas reais; $\Delta = 0$ = raiz dupla; $\Delta < 0$ = complexas conjugadas. Esse critério aparece em EDOs (discriminante da equação característica).
Ex. 4.8UnderstandingAnswer key
Determine $k$ tal que $f(x) = x^2 + kx + 9$ tenha raiz dupla.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Practice 5.25 · p. 504
Show solution
Raiz dupla: $\Delta = 0 \Rightarrow k^2 - 36 = 0 \Rightarrow k = \pm 6$ .
Ex. 4.9ProofAnswer key
Demonstre as relações de Vieta: se $x_1, x_2$ são raízes de $ax^2 + bx + c = 0$ , então $x_1 + x_2 = -b/a$ e $x_1 x_2 = c/a$ .
Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · Theorem 2.3 · p. 165
Show solution
Por Bhaskara: $x_{1,2} = (-b \pm \sqrt{\Delta})/(2a)$ . Soma: $x_1 + x_2 = (-b + \sqrt{\Delta} - b - \sqrt{\Delta})/(2a) = -2b/(2a) = -b/a$ . Produto: $x_1 x_2 = ((-b)^2 - (\sqrt{\Delta})^2)/(4a^2) = (b^2 - \Delta)/(4a^2) = (b^2 - b^2 + 4ac)/(4a^2) = 4ac/(4a^2) = c/a$ . $\square$
Ex. 4.10Proof
Demonstre a fórmula de Bhaskara completando o quadrado.
OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · How To 5.1 · p. 500
Show solution
Partindo de $ax^2 + bx + c = 0$ ( $a \neq 0$ ): divida por $a$ : $x^2 + (b/a)x = -c/a$ . Some $(b/2a)^2$ : $(x + b/(2a))^2 = (b^2 - 4ac)/(4a^2)$ . Extraia a raiz: $x = (-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac})/(2a)$ . $\square$
Ex. 4.11Application
Determine o vértice de $f(x) = x^2 - 4x + 3$ e classifique-o.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.1 · Example 5.1 · p. 476
Show solution
$x_V = -(-4)/(2 \cdot 1) = 2$ . $y_V = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ . $a = 1 > 0$ : vértice é mínimo.
Show step-by-step (with the why)
1. Identifique os coeficientes. $a = 1$ , $b = -4$ , $c = 3$ .
2. Aplique $x_V = -b/(2a)$ . $x_V = 4/2 = 2$ .
3. Calcule $y_V = f(x_V)$ . $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ .
4. Classifique. $a > 0$ : concavidade pra cima, vértice é mínimo.
5. Conferência pela média das raízes. Raízes de $x^2 - 4x + 3 = 0$ : $x = 1$ e $x = 3$ . Média: $(1+3)/2 = 2 = x_V$ ✓.
Macete: três caminhos para o vértice — fórmula $-b/(2a)$ , média das raízes (mais rápido se já fatorou), ou completar o quadrado (dá direto a forma canônica).
Ex. 4.12Application
Reescreva $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ na forma canônica $a(x - x_V)^2 + y_V$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · ex. 3 · p. 164
Show solution
$x_V = 8/4 = 2$ . $y_V = 2(4) - 8(2) + 5 = -3$ . Forma canônica: $f(x) = 2(x-2)^2 - 3$ . Verificação: $2(x^2 - 4x + 4) - 3 = 2x^2 - 8x + 5$ ✓.
Ex. 4.13ApplicationAnswer key
Determine o vértice de $g(x) = -3x^2 + 4x - 1$ e reescreva na forma canônica.
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · ex. 4 · p. 164
Show solution
$x_V = -4/(-6) = 2/3$ . $y_V = -3(4/9) + 4(2/3) - 1 = -4/3 + 8/3 - 1 = 4/3 - 1 = 1/3$ . Forma canônica: $-3(x - 2/3)^2 + 1/3$ . Como $a = -3 < 0$ : vértice é máximo, valor máximo $1/3$ .
Ex. 4.14Application
Encontre a quadrática com raízes $-2$ e $5$ que passa por $(0, -10)$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · ex. 5 · p. 166
Show solution
Forma fatorada: $f(x) = a(x + 2)(x - 5)$ . Com $f(0) = -10$ : $a(2)(-5) = -10 \Rightarrow a = 1$ . Logo $f(x) = (x+2)(x-5) = x^2 - 3x - 10$ .
Ex. 4.15Application
Encontre a quadrática com vértice em $(1, -3)$ que passa por $(3, 5)$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · ex. 6 · p. 166
Show solution
Forma vértice: $f(x) = a(x - 1)^2 - 3$ . Em $(3, 5)$ : $5 = a(4) - 3 \Rightarrow a = 2$ . Logo $f(x) = 2(x - 1)^2 - 3$ .
Ex. 4.16Understanding
Para $y = a(x-3)^2 + 5$ com $a \neq 0$ : qual é o vértice, e como $a$ afeta o gráfico?
Select the correct option
$a$ controla abertura e concavidade; vértice é sempre $(3, 5)$ para qualquer $a \neq 0$ O vértice depende de $a$ $a = 0$ coloca o vértice na origem $|a|$ desloca verticalmente o vértice
Select an option first
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.1 · Example 5.1 · p. 476
Show solution
A forma $a(x-3)^2 + 5$ revela o vértice diretamente: $(3, 5)$ é fixo para qualquer $a \neq 0$ . O valor de $|a|$ controla a abertura (grande = parábola estreita; pequeno = larga) e o sinal controla a concavidade. O vértice não se move.
Ex. 4.17Understanding
Use as relações de Vieta para resolver $x^2 - x - 2 = 0$ sem aplicar Bhaskara.
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · ex. 1 · p. 165
Show solution
Por Vieta: soma $= -b/a = 1$ , produto $= c/a = -2$ . Pares de inteiros com soma 1 e produto -2: $\{2, -1\}$ . Verificação via Bhaskara: $\Delta = 1 + 8 = 9$ ; $x = (1 \pm 3)/2$ : $x = 2$ ou $x = -1$ ✓.
Ex. 4.18Proof
Demonstre que a abscissa do vértice é a média aritmética das raízes (quando elas existem).
Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · Theorem 2.3 · p. 165
Show solution
Pelo Teorema 2.3 de Stitz-Zeager (exercício 4.9 desta lista): $x_1 + x_2 = -b/a$ . Eixo de simetria está em $x_V = (x_1 + x_2)/2 = -b/(2a)$ , que é exatamente a fórmula do vértice. $\square$
Ex. 4.19UnderstandingAnswer key
Determine $m$ para que $f(x) = mx^2 + (m+1)x + 1$ tenha vértice no eixo $y$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · ex. 22 · p. 169
Show solution
$m \neq 0$ (necessário para ser quadrática). Vértice no eixo $y$ significa $x_V = 0$ : $-(m+1)/(2m) = 0 \Rightarrow m + 1 = 0 \Rightarrow m = -1$ . Verificação: $f(x) = -x^2 + 1$ , vértice $(0, 1)$ ✓.
Ex. 4.20Application
Para $f(x) = x^2 - 2x - 8$ : determine raízes, vértice e forme canônica.
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.1 · Example 5.3 · p. 478
Show solution
Raízes de $x^2 - 2x - 8 = 0$ : $\Delta = 4 + 32 = 36$ ; $x = (2 \pm 6)/2$ : $x_1 = -2$ , $x_2 = 4$ . Vértice: $x_V = 1$ ; $y_V = 1 - 2 - 8 = -9$ . Forma canônica: $(x - 1)^2 - 9$ .
Ex. 4.21ApplicationAnswer key
Resolva $x^2 - x - 6 < 0$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Example 5.28 · p. 506
Show solution
Raízes de $x^2 - x - 6 = 0$ : $(x - 3)(x + 2) = 0$ , raízes $-2$ e $3$ . $a = 1 > 0$ : parábola negativa entre as raízes. Desigualdade estrita (" $< 0$ "): extremos excluídos. Solução: $(-2, 3)$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Encontre as raízes. $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0$ : raízes $3$ e $-2$ .
2. Determine a concavidade. $a = 1 > 0$ : parábola "sorridente". Negativa entre as raízes, positiva fora.
3. Aplique o critério. " $< 0$ " = região entre as raízes. Estrita: extremos excluídos. Solução: $(-2, 3)$ .
4. Sanity check. Em $x = 0$ : $-6 < 0$ ✓. Em $x = 5$ : $14 > 0$ ✓ (fora). Em $x = -2$ : $0 \not< 0$ ✓ (excluído).
Atalho mental: para $a > 0$ , "entre as raízes" é negativo; "fora das raízes" é positivo. Inverta tudo se $a < 0$ . Não precisa de tabela de sinais.
Ex. 4.22Application
Resolva $x^2 \geq 9$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · ex. 8 · p. 167
Show solution
$x^2 \geq 9 \iff |x| \geq 3 \iff x \leq -3$ ou $x \geq 3$ . Ou: raízes de $x^2 - 9 = 0$ são $\pm 3$ ; com $a > 0$ , quadrática não-negativa fora das raízes. Extremos incluídos (não-estrito). Solução: $(-\infty, -3] \cup [3, +\infty)$ .
Ex. 4.23ApplicationAnswer key
Resolva $-x^2 + 4x + 5 \geq 0$ .
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Example 5.28 · p. 506
Show solution
Raízes de $-x^2 + 4x + 5 = 0$ : multiplique por $-1$ : $x^2 - 4x - 5 = 0$ , raízes $-1$ e $5$ . O coeficiente líder original é $a = -1 < 0$ : parábola negativa fora das raízes, positiva entre elas. Queremos $f(x) \geq 0$ : região entre as raízes, incluindo os extremos. Solução: $[-1, 5]$ .
Ex. 4.24Understanding
Para quais valores de $b$ a função $f(x) = 2x^2 + bx + 8$ é positiva para todo $x \in \mathbb{R}$ ?
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Practice 5.28 · p. 505
Show solution
Discriminante: $\Delta = b^2 - 4ac$ . Para $f(x) > 0$ para todo real com $a > 0$ : parábola toda acima do eixo $x$ , o que ocorre quando $\Delta < 0$ . Condição: $b^2 - 4ac < 0$ , i.e. $b^2 < 4ac$ . Para $f(x) = 2x^2 + bx + 8$ : $b^2 < 64$ , ou seja $-8 < b < 8$ .
Show step-by-step (with the why)
1. Condição para f sempre positiva. Com $a = 2 > 0$ , a parábola abre pra cima. Fica toda acima de zero quando NÃO tem zeros reais, i.e. $\Delta < 0$ .
2. Compute $\Delta$ . $\Delta = b^2 - 4(2)(8) = b^2 - 64$ .
3. Resolva $\Delta < 0$ . $b^2 - 64 < 0 \Rightarrow b^2 < 64 \Rightarrow |b| < 8 \Rightarrow -8 < b < 8$ .
Observação: "f sempre positiva" combinado com $a > 0$ equivale a $\Delta < 0$ . Tríade do discriminante que todo estudante de engenharia deve conhecer de cor.
Ex. 4.25UnderstandingAnswer key
Resolva $4x^2 - 3x + 4 > 0$ .
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$x \in \mathbb{R}$ — a parábola está inteiramente acima do eixo $x$ ( $\Delta < 0$ ) $x \in (1, 2)$ — entre as raízes $x \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)$ — fora das raízesSem solução — a parábola não existe
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Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Example 5.29 · p. 506
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$\Delta = 9 - 4 \cdot 4 = 9 - 16 = -7 < 0$ . Sem raízes reais. Com $a = 4 > 0$ : $f(x) > 0$ para todo $x \in \mathbb{R}$ . Solução da inequação: $\mathbb{R}$ .
Ex. 4.26Application
Construa o quadro de sinal de $f(x) = x^2 - 3x - 10$ e indique os intervalos onde $f < 0$ e onde $f \geq 0$ .
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · ex. 11 · p. 168
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$f(x) = x^2 - 3x - 10$ . Raízes: $(x - 5)(x + 2) = 0$ , raízes $5$ e $-2$ . Quadro de sinal ( $a = 1 > 0$ ): $f < 0$ para $x \in (-2, 5)$ ; $f \geq 0$ para $x \leq -2$ ou $x \geq 5$ .
Ex. 4.27Understanding
Para quais valores de $m$ a equação $x^2 + mx + (m + 3) = 0$ tem duas raízes reais distintas?
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · ex. 20 · p. 169
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Discriminante de $x^2 + mx + (m+3) = 0$ : $\Delta = m^2 - 4(m + 3) = m^2 - 4m - 12 = (m-6)(m+2)$ . Para $\Delta > 0$ : $m < -2$ ou $m > 6$ .
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1. Escreva $\Delta$ . $\Delta = m^2 - 4(m+3) = m^2 - 4m - 12$ .
2. Fatore $\Delta$ como quadrática em $m$ . $m^2 - 4m - 12 = (m - 6)(m + 2)$ .
3. Resolva $\Delta > 0$ . Produto de dois fatores positivo quando ambos positivos ou ambos negativos. Raízes: $m = -2$ e $m = 6$ . Com $a = 1 > 0$ : $\Delta > 0$ fora das raízes: $m < -2$ ou $m > 6$ .
Observação: o discriminante de uma quadrática em x pode ser ele mesmo uma quadrática em outro parâmetro. O método é o mesmo — fatorar e analisar o sinal.
Ex. 4.28Challenge
Demonstre, usando a forma canônica, que para $a > 0$ o valor mínimo de $f(x) = ax^2 + bx + c$ é $y_V = -\Delta/(4a)$ , atingido em $x = x_V$ .
OpenStax College Algebra 2e · §5.1 · Example 5.1 · p. 476
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Seja $f(x) = ax^2 + bx + c$ com $a > 0$ . Escrevendo na forma canônica: $f(x) = a(x - x_V)^2 + y_V$ . Como $a > 0$ , o termo quadrático é não-negativo: $f(x) \geq y_V$ para todo $x$ , com igualdade em $x = x_V$ . Portanto $y_V = -\Delta/(4a)$ é o valor mínimo global. $\square$
Ex. 4.29Modeling
Projétil lançado verticalmente: $h(t) = 30t - 5t^2$ (m, s). (a) Instante e altura máxima? (b) Quando volta ao solo?
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 6 · ex. 5 · p. sec. 6.2
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$h(t) = -5t^2 + 30t$ . Vértice: $t_V = 30/10 = 3$ s; $h(3) = 90 - 45 = 45$ m. Volta ao solo: $t(30 - 5t) = 0 \Rightarrow t = 0$ ou $t = 6$ s.
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1. Identifique a estrutura. $h(t) = -5t^2 + 30t$ : $a = -5 < 0$ — vértice é máximo.
2. Instante de altura máxima. $t_V = -30/(-10) = 3$ s.
3. Altura máxima. $h(3) = 30(3) - 5(9) = 90 - 45 = 45$ m.
4. Retorno ao solo. $h(t) = 0 \Rightarrow t(30 - 5t) = 0 \Rightarrow t = 6$ s.
5. Sanity check físico. Tempo de subida (0 a 3 s) = tempo de descida (3 a 6 s) — simetria parabólica sem atrito.
Aplicação: o modelo $h(t) = v_0 t - (g/2)t^2$ com $g \approx 10$ m/s² descreve lançamento vertical próximo ao solo. Aqui $v_0 = 30$ m/s. Arquétipo de problema do ENEM.
Ex. 4.30Modeling
Dois números positivos cuja soma é 100. Quais maximizam o produto?
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Example 5.30 · p. 508
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Seja $x$ um dos lados e $y = 100 - x$ o outro. Produto: $P(x) = x(100 - x) = 100x - x^2$ . Vértice: $x_V = 50$ . Os dois números são $50$ e $50$ ; produto máximo: $2500$ .
Ex. 4.31Modeling
Cerca de 60 m cobrindo 3 lados de um retângulo (parede no quarto lado). Que dimensões maximizam a área?
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 6 · ex. 9 · p. sec. 6.3
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Seja $x$ a profundidade (perpendicular à parede) e $y = 60 - 2x$ o lado paralelo. Área: $A(x) = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ . Vértice: $x_V = 15$ m; $y = 30$ m. Área máxima: $450$ m².
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1. Modele. Seja $x$ a largura perpendicular à parede. Cerca cobre 3 lados: $2x + y = 60 \Rightarrow y = 60 - 2x$ .
2. Objetivo. $A(x) = xy = x(60 - 2x) = 60x - 2x^2$ . $a = -2 < 0$ : tem máximo.
3. Otimize. $x_V = -60/(-4) = 15$ m; $y = 30$ m.
4. Área máxima. $A(15) = 15 \cdot 30 = 450$ m².
5. Sanity check. $A(10) = 400$ , $A(20) = 400$ , ambos menores ✓.
Padrão clássico de otimização: "cerca cobrindo 3 lados de retângulo contra parede". Sempre leva a uma quadrática. O ótimo dá y = 2x — dimensão paralela à parede é o dobro da perpendicular.
Ex. 4.32ModelingAnswer key
Custo $C(q) = q^2 - 30q + 250$ (R$) para $q$ unidades. Qual $q$ minimiza o custo? Qual é o custo mínimo?
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 6 · ex. 3 · p. sec. 6.2
Show solution
$C(q) = q^2 - 30q + 250$ . $a = 1 > 0$ : vértice é mínimo. $q_V = 30/2 = 15$ . $C(15) = 225 - 450 + 250 = 25$ reais.
Ex. 4.33Modeling
Receita $R(p) = p(200 - 4p)$ . (a) Zeros? (b) Preço de receita máxima? (c) Receita máxima?
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Example 5.31 · p. 508
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$R(p) = p(200 - 4p) = 200p - 4p^2$ . (a) $R = 0 \Rightarrow p = 0$ ou $p = 50$ . (b) $p_V = 200/8 = 25$ . (c) $R(25) = 25 \cdot 100 = 2500$ .
Ex. 4.34Modeling
Um jardim retangular tem comprimento 4 m maior que a largura e área 96 m². Quais as dimensões?
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Practice 5.32 · p. 510
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Seja comprimento $c$ e largura $c - 4$ . Área: $c(c - 4) = 96 \Rightarrow c^2 - 4c - 96 = 0$ . $\Delta = 16 + 384 = 400$ . $c = (4 + 20)/2 = 12$ m. Largura $= 8$ m.
Ex. 4.35Modeling
Receita $R(q) = 200q$ e custo $C(q) = 2q^2 + 30q + 200$ . (a) Lucro $L(q)$ ? (b) $q$ que maximiza? (c) Lucro máximo?
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 6 · ex. 15 · p. sec. 6.3
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$L(q) = R(q) - C(q) = 200q - (2q^2 + 30q + 200) = -2q^2 + 170q - 200$ . $q^* = 170/4 = 42{,}5$ . $L(42{,}5) = -2(1806{,}25) + 170(42{,}5) - 200 = -3612{,}5 + 7225 - 200 = 3412{,}5$ reais.
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1. Lucro. $L = R - C = 200q - 2q^2 - 30q - 200 = -2q^2 + 170q - 200$ .
2. Vértice. $a = -2 < 0$ : máximo. $q^* = -170/(-4) = 42{,}5$ .
3. Lucro máximo. $L(42{,}5) = 3412{,}5$ reais.
4. Interpretação MR = MC. Receita marginal $R'(q) = 200$ ; custo marginal $C'(q) = 4q + 30$ . Igualando: $4q + 30 = 200 \Rightarrow q = 42{,}5$ . Confirma o vértice.
Regra do lucro máximo: "produzir até receita marginal = custo marginal (MR = MC)". O vértice da quadrática é a versão algébrica desta regra econômica.
Ex. 4.36Modeling
Trajetória de bola: $h(d) = -0{,}1d^2 + d + 1$ m, onde $d$ é a distância horizontal. (a) Altura máxima e onde ocorre? (b) Onde toca o solo?
Solve online Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs · Cap. 6 · ex. 7 · p. sec. 6.2
Show solution
$h(d) = -0{,}1d^2 + d + 1$ . Vértice: $d_V = -1/(-0{,}2) = 5$ m; $h(5) = -2{,}5 + 5 + 1 = 3{,}5$ m. Toca solo: $0{,}1d^2 - d - 1 = 0 \Rightarrow d^2 - 10d - 10 = 0$ . $\Delta = 100 + 40 = 140$ . $d = (10 + \sqrt{140})/2 \approx (10 + 11{,}83)/2 \approx 10{,}9$ m.
Ex. 4.37Challenge
Loja vende 100 unidades/semana a R$ 50,00. Cada R$ 1,00 de redução traz 5 clientes extras. Qual preço maximiza a receita semanal?
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Practice 5.33 · p. 510
Show solution
Seja $x$ a redução de preço. Preço: $p = 50 - x$ ; quantidade: $q = 100 + 5x$ . Receita: $R(x) = (50 - x)(100 + 5x) = 5000 + 150x - 5x^2$ . $a = -5 < 0$ : máximo. $x_V = 150/10 = 15$ . Preço ótimo: $R$ 35$ . Receita: $R(15) = 35 \cdot 175 = 6125$ reais. (Atenção: isso é receita, não lucro. Se custo unitário for alto, a receita máxima pode não ser o lucro máximo.)
Ex. 4.38Challenge
Galinheiro retangular com 300 m de cerca, dividido ao meio por uma cerca paralela a um dos lados. Quais dimensões maximizam a área total?
Solve online OpenStax College Algebra 2e · §5.3 · Practice 5.34 · p. 510
Show solution
Galinheiro com divisão interna paralela a um dos lados. Seja $x$ a largura e $y$ o comprimento. Cerca total: $2x + 3y = 300 \Rightarrow x = (300 - 3y)/2$ . Área: $A(y) = xy = (300 - 3y)y/2 = 150y - 1{,}5y^2$ . Vértice: $y_V = 150/3 = 50$ m; $x = (300 - 150)/2 = 75$ m. Área máxima: $3750$ m².
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1. Identifique o modelo. 300 m de cerca para duas seções retangulares, divididas por cerca paralela à largura. Isso gera 2 comprimentos $y$ mais 3 larguras $x$ : $3x + 2y = 300$ . (Escolha de notação: $x$ = lado com a divisão, 3 deles; $y$ = outro lado, 2 deles.)
2. Elimine uma variável. $x = (300 - 2y)/3$ .
3. Escreva a área. $A(y) = xy = (300 - 2y)y/3 = 100y - 2y^2/3$ .
4. Vértice. $y_V = -100/(-4/3) = 100 \cdot 3/4 = 75$ . $x = (300 - 150)/3 = 50$ . $A_{max} = 50 \cdot 75 = 3750$ m².
Curiosidade: o resultado geral para "cerca de comprimento total L, com n divisões paralelas a um lado" é que o lado dividido vale $L/(n+2)$ e o outro lado vale $L(n+1)/(2(n+2))$ ... mas derive você mesmo pra praticar.
Ex. 4.39Challenge
Demonstre que, dado $x + y = S$ com $x, y > 0$ , o produto $xy$ é maximizado quando $x = y = S/2$ .
Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · ex. 27 · p. 170
Show solution
Usando AM-GM: para dois positivos $x, y$ com soma fixa $S$ , a desigualdade AM-GM diz $(x + y)/2 \geq \sqrt{xy}$ , com igualdade sse $x = y$ . Logo produto máximo quando $x = y = S/2$ . Via quadrática: $P(x) = x(S - x) = Sx - x^2$ ; vértice em $x = S/2$ . Ambos os métodos confirmam o resultado.
Ex. 4.40Challenge
Demonstre que, quando $\Delta \geq 0$ , a função quadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ pode ser escrita como $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ .
Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · Corollary 2.1 · p. 165
Show solution
Pelo teorema 2.3 de Stitz-Zeager: raízes $x_1, x_2$ satisfazem $x_1 + x_2 = -b/a$ e $x_1 x_2 = c/a$ . Portanto $a(x - x_1)(x - x_2) = a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2] = a[x^2 + (b/a)x + c/a] = ax^2 + bx + c$ . Logo $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ quando $\Delta \geq 0$ . $\square$
Ex. 4.41Challenge
Para quais valores de $p, q$ a função $f(x) = x^2 + 2px + q$ é não-negativa para todo $x \in \mathbb{R}$ ?
Solve online Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · ex. 24 · p. 169
Show solution
$f(x) = x^2 + 2px + q$ . Vértice: $x_V = -p$ ; $y_V = p^2 - p^2 + q - p^2 = q - p^2$ . Hmm: $y_V = (-p)^2 + 2p(-p) + q = p^2 - 2p^2 + q = q - p^2$ . Para $f(x) \geq 0$ para todo $x$ : $\Delta = 4p^2 - 4q \leq 0 \Rightarrow q \geq p^2$ . Geometricamente: o vértice $y_V = q - p^2 \geq 0$ — não toca o semieixo negativo.
Ex. 4.42Proof
Demonstre o teorema do sinal da quadrática: com $a > 0$ e $\Delta > 0$ (raízes $x_1 < x_2$ ), $f(x) < 0$ se e somente se $x \in (x_1, x_2)$ .
Stitz-Zeager Precalculus · §2.3 · Theorem 2.4 · p. 167
Show solution
Queremos mostrar que se $ax^2 + bx + c = 0$ tem raízes reais distintas $x_1 < x_2$ , então: (i) $f(x) = 0$ exatamente em $x_1, x_2$ ; (ii) para $a > 0$ , $f(x) < 0$ iff $x \in (x_1, x_2)$ . Pela fatoração: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ . Para $x \in (x_1, x_2)$ : $(x - x_1) > 0$ e $(x - x_2) < 0$ , logo $f(x) = a \cdot (+) \cdot (-) < 0$ (pois $a > 0$ ). Para $x < x_1$ : ambos os fatores negativos, produto positivo, logo $f > 0$ . Para $x > x_2$ : ambos positivos, $f > 0$ . $\square$

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios. Catálogo geral em /livros.

OpenStax College Algebra 2e — Jay Abramson et al. · 2022 · EN · CC-BY 4.0 · §5.1–5.3 (funções quadráticas, vértice, discriminante, otimização). Fonte primária dos Blocos A, C e D.
Stitz–Zeager — Precalculus — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §2.3 (forma canônica, Vieta, transformações, desafios). Fonte primária dos Blocos B e E.
Yoshiwara — Modeling, Functions, and Graphs — Katherine Yoshiwara · 2020 · EN · livre · caps. 6–7 (otimização de área, lucro, balística). Fonte primária do Bloco D e da Porta prática.