Lição 6 — Funções exponenciais

1. Aplique a definição. Para qualquer $a > 0, a \neq 1$, define-se $a^0 = 1$ de modo que a lei $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$ permaneça válida.
2. Verifique a consistência. Tome $a^1 = a$ e calcule $a^1 / a^1 = a^{1-1} = a^0$. E $a/a = 1$. Logo $a^0 = 1$.
3. Aplique aos três valores: todos valem 1.

Observação: a identidade $a^0 = 1$ é uma convenção necessária para manter a coerência das leis dos expoentes, não um "acidente".

1. Reescreva o lado direito como potência da mesma base. A base do lado esquerdo é 2; podemos escrever $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.
2. Compare as duas potências de mesma base: $2^x = 2^3$.
3. Aplique a injetividade. A função $f(t) = 2^t$ é estritamente crescente, portanto injetora: dois valores iguais da função correspondem a expoentes iguais.
4. Conclua: $x = 3$.
5. Verifique: $2^3 = 8$. ✓

Macete: sempre que ambos os lados puderem ser escritos como potências da mesma base, "cancele as bases" e iguale os expoentes — é o atalho que evita logaritmo.

1. Reescreva o lado direito: $32 = 2^5$.
2. Forme a igualdade de potências de mesma base: $2^{x+1} = 2^5$.
3. Aplique injetividade: $x + 1 = 5$.
4. Isole $x$: $x = 4$.
5. Verifique: $2^{4+1} = 2^5 = 32$. ✓

Macete: quando o expoente é uma expressão linear em $x$, iguale os expoentes e resolva a equação linear resultante.

1. Identifique uma base comum. Tanto 9 quanto 27 são potências de 3: $9 = 3^2$ e $27 = 3^3$.
2. Reescreva o lado esquerdo: $9^x = (3^2)^x = 3^{2x}$.
3. Iguale potências de mesma base: $3^{2x} = 3^3$.
4. Aplique injetividade: $2x = 3 \Rightarrow x = 3/2$.
5. Verifique: $9^{3/2} = (\sqrt{9})^3 = 3^3 = 27$. ✓

Macete: resultado fracionário é perfeitamente normal — não significa erro. $x = 3/2$ é válido como expoente.

1. Reconheça a estrutura quadrática. $4^x = (2^x)^2$ e $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$. Faça $u = 2^x$: equação vira $u^2 + 2u - 8 = 0$.
2. Fatore: $(u + 4)(u - 2) = 0 \Rightarrow u = -4$ ou $u = 2$.
3. Descarte a raiz inválida. $u = 2^x > 0$ sempre, então $u = -4$ é impossível.
4. Volte para $x$: $2^x = 2 \Rightarrow x = 1$.
5. Verifique: $4^1 + 2^2 - 8 = 4 + 4 - 8 = 0$. ✓

Macete: toda vez que aparecer $a^{2x}$ e $a^x$ na mesma equação, substitua $u = a^x$ e vire quadrática. Sempre descarte raízes negativas de $u$.

1. Modele o crescimento. "Dobra a cada hora" significa taxa $r = 2$ por período. $N(t) = 50 \cdot 2^t$.
2. Calcule N(6): $50 \cdot 2^6 = 50 \cdot 64 = 3\,200$.
3. Resolva N(t) = 12.800: $2^t = 12\,800/50 = 256$.
4. Fatore 256: $256 = 2^8$, logo $t = 8$ horas.

Curiosidade: no dia 8, a colônia tem 12.800 bactérias — 256 vezes a quantidade inicial. Isso ilustra como crescimento exponencial, embora pareça "suave" nos primeiros passos, explode rapidamente.

1. Fórmula de capitalização discreta: $M = P(1 + r/n)^{nt}$ com $P = 1\,000$, $r = 0{,}06$, $t = 5$.
2. (a) Anual ($n=1$): $M = 1\,000 \cdot (1{,}06)^5 \approx 1\,338{,}23$.
3. (b) Mensal ($n=12$): taxa mensal $= 6\%/12 = 0{,}5\%$. $M = 1\,000 \cdot (1{,}005)^{60} \approx 1\,348{,}85$.
4. Compare: capitalização mensal rende ~R\$ 10,62 a mais que anual em 5 anos.

Macete: a taxa efetiva anual com capitalização mensal é $(1 + r/12)^{12} - 1$. Para 6% a.a.: taxa efetiva $= (1{,}005)^{12} - 1 \approx 6{,}168\%$ a.a. — o banco paga mais do que os 6% nominais.

1. Modele o decaimento radioativo: $N(t) = N_0 \cdot (1/2)^{t/\tau_{1/2}}$ com $\tau_{1/2} = 5\,730$ anos.
2. Traduza o dado: "contém $1/8$ do original" significa $N(t)/N_0 = 1/8$.
3. Forme a equação: $(1/2)^{t/5730} = 1/8$.
4. Reescreva: $1/8 = (1/2)^3$.
5. Iguale expoentes: $t/5\,730 = 3 \Rightarrow t = 17\,190$ anos.
6. Sanity check: em 3 meias-vidas, $1 \to 1/2 \to 1/4 \to 1/8$. ✓

Curiosidade: 17.190 anos corresponde ao final do Pleistoceno — há megafauna brasileira (preguiças-gigantes, smilodon) datando dessa época pelo C-14.

1. Modelo de eliminação contínua: $C(t) = C_0 e^{-kt}$ com $C_0 = 500$ mg e $k = 0{,}3$/h.
2. Resolva C(t) = 250: $e^{-0{,}3t} = 1/2$.
3. Aplique ln (inversa de e^x): $-0{,}3t = \ln(1/2) = -\ln 2$.
4. Isole t: $t = \ln 2 / 0{,}3 \approx 0{,}693/0{,}3 \approx 2{,}31$ h.
5. Sanity check: esse $t$ é a meia-vida farmacológica.

Macete clínico: meia-vida $\tau_{1/2} = \ln 2 / k$. Drogas com meia-vida curta (paracetamol ~2,5 h) precisam de doses frequentes; com meia-vida longa (fluoxetina ~40 h), acumulam até equilíbrio em ~5 meias-vidas.

1. Hipótese: $a, b > 0$ e $a^x = b^x$. Tese: $a = b$ ou $x = 0$.
2. Caso $x = 0$: tese válida (tanto $a$ quanto $b$ podem ser quaisquer positivos).
3. Suponha $x \neq 0$. Divida por $b^x$: $(a/b)^x = 1$.
4. Propriedade chave: para $c > 0$ e $x \neq 0$, $c^x = 1 \iff c = 1$ (pois se $c \neq 1$, a exponencial é estritamente monotônica).
5. Conclua: $a/b = 1 \Rightarrow a = b$. ∎

Macete: padrão "tese é disjunção $p$ ou $q$" — assuma $\neg q$ (aqui $x \neq 0$) e prove $p$ ($a = b$). Estratégia clássica.