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Lição 15 — Lei dos senos e lei dos cossenos

Resolução de triângulos quaisquer (não retângulos). Aplicações em topografia, navegação e física.

Used in: 1.º ano do EM (15 anos) · Math II japonês (cap. 図形と計量) · Trigonometry — US precalc

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R,c2=a2+b2−2abcos⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R, \quad c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Lei dos senos (esquerda): em qualquer triângulo, a razão lado/seno do ângulo oposto é constante (igual a 2R2R, com RR = raio do círculo circunscrito). Lei dos cossenos (direita): generaliza Pitágoras para triângulos não-retângulos.

Choose your door

Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Demonstrações e uso

"The Law of Sines can be used to solve oblique triangles, which are non-right triangles." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e §10.1

"The Law of Cosines is a generalization of the Pythagorean Theorem. We can use it to find a missing side when two sides and the included angle are known." — Stitz–Zeager, Precalculus §11.3

Notação do triângulo e círculo circunscrito

ABCcbaRLei dos senos: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R

Triângulo ABCABC inscrito no círculo de raio RR. O lado oposto ao ângulo maior é sempre o maior.

Quando usar cada lei

Área de triângulo

Aˊrea=12absin⁡C\text{Área} = \tfrac{1}{2}ab\sin C
what this means · Área direta via dois lados e ângulo entre eles. Quando C = 90° recupera 'cateto × cateto / 2'.
Aˊrea=s(s−a)(s−b)(s−c)\text{Área} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
what this means · Fórmula de Heron: área só com os três lados, sem precisar de ângulos. Semi-perímetro: s = (a+b+c)/2.

Exemplos resolvidos

Cinco exemplos com dificuldade crescente — do mais direto (lei dos senos AAS) ao modelagem real (cinemática inversa de braço robótico). Cada exemplo cita sua fonte: o problema original vem sempre de um livro aberto.

Exercise list

35 exercises · 8 with worked solution (25%)

Application 18Understanding 2Modeling 12Proof 3
  1. Ex. 15.1Application

    Triângulo com a=8a = 8, A=30°A = 30°, B=45°B = 45°. Calcule bb.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1
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    Lei dos senos: b/sin⁡45°=8/sin⁡30°b/\sin 45° = 8/\sin 30°. Logo b=8⋅(2/2)/(1/2)=82≈11,31b = 8 \cdot (\sqrt 2/2)/(1/2) = 8\sqrt 2 \approx 11{,}31.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identificar o caso. Tem-se a,A,Ba, A, B — caso AAS (lei dos senos).
    2. Montar a razão. a/sin⁡A=b/sin⁡Ba/\sin A = b/\sin B. Substitua: 8/sin⁡30°=b/sin⁡45°8/\sin 30° = b/\sin 45°.
    3. Isolar b. b=8⋅sin⁡45°/sin⁡30°b = 8 \cdot \sin 45°/\sin 30°.
    4. Calcular. sin⁡45°=2/2\sin 45° = \sqrt 2/2, sin⁡30°=1/2\sin 30° = 1/2. Logo b=8⋅2=11,31b = 8 \cdot \sqrt 2 = 11{,}31.

    Atalho: ângulo maior → lado maior. B=45°>A=30°B = 45° > A = 30°, então b>ab > a. Sanidade rápida.

  2. Ex. 15.2Application

    Triângulo com a=12a = 12, A=50°A = 50°, B=70°B = 70°. Calcule bb e cc.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1
    Show solution
    C=180°−50°−70°=60°C = 180° - 50° - 70° = 60°. Lei dos senos: b=12sin⁡70°/sin⁡50°≈14,72b = 12 \sin 70°/\sin 50° \approx 14{,}72. c=12sin⁡60°/sin⁡50°≈14,25c = 12 \sin 60°/\sin 50° \approx 14{,}25.
  3. Ex. 15.3Application

    Triângulo com a=5a = 5, b=8b = 8, A=30°A = 30°. Quantos triângulos são possíveis?

    Select the correct option
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    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §11.2
    Show solution
    Calcule h=bsin⁡A=8⋅0,5=4h = b \sin A = 8 \cdot 0{,}5 = 4. Como h=4<a=5<b=8h = 4 < a = 5 < b = 8, caem-se 2 triângulos.
  4. Ex. 15.4Application

    Triângulo com b=10b = 10, B=45°B = 45°, A=60°A = 60°. Calcule aa.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1
    Show solution
    Lei dos senos: a=bsin⁡A/sin⁡B=10⋅sin⁡60°/sin⁡45°=10⋅(3/2)/(2/2)=56≈12,25a = b \sin A/\sin B = 10 \cdot \sin 60°/\sin 45° = 10 \cdot (\sqrt 3/2)/(\sqrt 2/2) = 5\sqrt 6 \approx 12{,}25.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Caso AAS. Lados: b=10b = 10; ângulos: A=60°A = 60°, B=45°B = 45°. Lei dos senos.
    2. Razão. a/sin⁡A=b/sin⁡B⇒a=10⋅sin⁡60°/sin⁡45°a/\sin A = b/\sin B \Rightarrow a = 10 \cdot \sin 60°/\sin 45°.
    3. Substituir notáveis. sin⁡60°=3/2\sin 60° = \sqrt 3/2, sin⁡45°=2/2\sin 45° = \sqrt 2/2.
    4. Simplificar. a=10⋅3/2=103/2=56≈12,25a = 10 \cdot \sqrt 3/\sqrt 2 = 10\sqrt 3/\sqrt 2 = 5\sqrt 6 \approx 12{,}25.

    Macete: A>B⇒a>bA > B \Rightarrow a > b. Verifica-se: 12,25>1012{,}25 > 10. OK.

  5. Ex. 15.5Application

    Em um triângulo ABCABC, A=40°A = 40°, B=80°B = 80°, a=7a = 7. Calcule CC e cc.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1
    Show solution
    C=180°−40°−80°=60°C = 180° - 40° - 80° = 60°. Lei dos senos: c=asin⁡C/sin⁡A=7⋅sin⁡60°/sin⁡40°≈9,43c = a \sin C/\sin A = 7 \cdot \sin 60°/\sin 40° \approx 9{,}43.
  6. Ex. 15.6Application

    Triângulo com a=6a = 6, A=35°A = 35°, B=50°B = 50°. Calcule a área.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §11.2
    Show solution
    C=180°−35°−50°=95°C = 180° - 35° - 50° = 95°. b=6sin⁡50°/sin⁡35°≈8,01b = 6 \sin 50°/\sin 35° \approx 8{,}01. Área =12absin⁡C≈12⋅6⋅8,01⋅sin⁡95°≈17,19= \tfrac{1}{2} ab \sin C \approx \tfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8{,}01 \cdot \sin 95° \approx 17{,}19.
  7. Ex. 15.7Application

    Lei dos senos: a/sin⁡30°=c/sin⁡90°a/\sin 30° = c/\sin 90°. Para a=4a = 4, calcule cc.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1
    Show solution
    Lei dos senos: a/sin⁡30°=c/sin⁡90°⇒4/(1/2)=c/1⇒c=8a/\sin 30° = c/\sin 90° \Rightarrow 4/(1/2) = c/1 \Rightarrow c = 8. Caso particular: hipotenusa = diâmetro do círculo circunscrito.
  8. Ex. 15.8Application

    Em um triângulo, a=10a = 10, b=7b = 7, A=90°A = 90°. Confirme com lei dos senos que sin⁡B=0,7\sin B = 0{,}7.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1
    Show solution
    Lei dos senos: sin⁡B/b=sin⁡A/a⇒sin⁡B=bsin⁡A/a=7⋅1/10=0,7\sin B/b = \sin A/a \Rightarrow \sin B = b \sin A/a = 7 \cdot 1/10 = 0{,}7. Triângulo retângulo em A=90°A = 90°, então sin⁡A=1\sin A = 1.
  9. Ex. 15.9Application

    Triângulo: A=50°A = 50°, a=12a = 12. Determine o raio RR do círculo circunscrito.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1
    Show solution
    Lei dos senos com circunscrito: a/sin⁡A=2R⇒R=a/(2sin⁡A)=12/(2sin⁡50°)≈12/1,532≈7,83a/\sin A = 2R \Rightarrow R = a/(2\sin A) = 12/(2\sin 50°) \approx 12/1{,}532 \approx 7{,}83.
  10. Ex. 15.10Understanding

    Mostre que num triângulo equilátero (A=B=C=60°A = B = C = 60°), a=b=ca = b = c.

    Stitz-Zeager Precalculus · §11.2
    Show solution
    Pela lei dos senos, a/sin⁡A=b/sin⁡B=c/sin⁡Ca/\sin A = b/\sin B = c/\sin C. Como A=B=C=60°A = B = C = 60°, todos os senos são iguais a 3/2\sqrt 3/2. Logo as três razões implicam a=b=ca = b = c — equilátero por definição.
  11. Ex. 15.11Application

    Triângulo com a=5a = 5, b=7b = 7, C=60°C = 60°. Calcule cc.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2
    Show solution
    c2=25+49−2⋅5⋅7⋅cos⁡60°=74−35=39c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60° = 74 - 35 = 39. c=39≈6,24c = \sqrt{39} \approx 6{,}24.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identifique o caso. Dois lados a,ba, b e o ângulo entre eles CC — caso SAS, lei dos cossenos.
    2. Aplique a fórmula. c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.
    3. Substitua. c2=25+49−70⋅0,5=39c^2 = 25 + 49 - 70 \cdot 0{,}5 = 39.
    4. Extraia a raiz. c=39≈6,24c = \sqrt{39} \approx 6{,}24.

    Macete: cos⁡60°=1/2\cos 60° = 1/2 simplifica a vida — sempre que aparecer, o termo de subtração vira abab.

  12. Ex. 15.12Application

    Triângulo com a=8a = 8, b=6b = 6, C=90°C = 90°. Calcule cc. (Recupere Pitágoras.)

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2
    Show solution
    cos⁡90°=0\cos 90° = 0, então c2=a2+b2=64+36=100⇒c=10c^2 = a^2 + b^2 = 64 + 36 = 100 \Rightarrow c = 10. Recupera Pitágoras.
  13. Ex. 15.13ApplicationAnswer key

    Triângulo com a=4a = 4, b=3b = 3, C=120°C = 120°. Calcule cc.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §11.3
    Show solution
    cos⁡120°=−1/2\cos 120° = -1/2. c2=16+9−2⋅4⋅3⋅(−1/2)=25+12=37⇒c=37≈6,08c^2 = 16 + 9 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot (-1/2) = 25 + 12 = 37 \Rightarrow c = \sqrt{37} \approx 6{,}08.
  14. Ex. 15.14Application

    Triângulo com a=5a = 5, b=6b = 6, c=7c = 7. Calcule CC.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2
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    cos⁡C=(a2+b2−c2)/(2ab)=(25+36−49)/60=12/60=1/5\cos C = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab) = (25 + 36 - 49)/60 = 12/60 = 1/5. C=arccos⁡(0,2)≈78,46°C = \arccos(0{,}2) \approx 78{,}46°.
  15. Ex. 15.15ApplicationAnswer key

    Triângulo com a=10a = 10, b=12b = 12, c=15c = 15. Determine os 3 ângulos.

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    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §11.3
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    SSS — lei dos cossenos para cada ângulo. cos⁡A=(144+225−100)/(2⋅12⋅15)=269/360⇒A≈41,41°\cos A = (144+225-100)/(2\cdot 12 \cdot 15) = 269/360 \Rightarrow A \approx 41{,}41°. cos⁡B=(100+225−144)/(2⋅10⋅15)=181/300⇒B≈55,77°\cos B = (100+225-144)/(2\cdot 10 \cdot 15) = 181/300 \Rightarrow B \approx 55{,}77°. C=180°−A−B≈82,82°C = 180° - A - B \approx 82{,}82°.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Caso SSS. Tem-se 3 lados, quer 3 ângulos: lei dos cossenos invertida para cada um.
    2. Cosseno do ângulo A (oposto a a=10). cos⁡A=(b2+c2−a2)/(2bc)=(144+225−100)/360=269/360≈0,7472\cos A = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc) = (144 + 225 - 100)/360 = 269/360 \approx 0{,}7472. A=arccos⁡(0,7472)≈41,41°A = \arccos(0{,}7472) \approx 41{,}41°.
    3. Cosseno do ângulo B (oposto a b=12). cos⁡B=(a2+c2−b2)/(2ac)=(100+225−144)/300=181/300≈0,6033\cos B = (a^2 + c^2 - b^2)/(2ac) = (100 + 225 - 144)/300 = 181/300 \approx 0{,}6033. B≈55,77°B \approx 55{,}77°.
    4. Ângulo C por soma 180°. C=180°−41,41°−55,77°≈82,82°C = 180° - 41{,}41° - 55{,}77° \approx 82{,}82°. (Mais barato que recalcular pela lei dos cossenos.)
    5. Sanidade. Maior lado c=15c = 15 ↔ maior ângulo C≈82,82°C \approx 82{,}82°. Bate.

    Atalho: depois de achar 2 ângulos, use sempre A+B+C=180°A + B + C = 180° para o terceiro — economiza um arccos⁡\arccos.

  16. Ex. 15.16Application

    Em um triângulo, a=12a = 12, b=8b = 8, A=80°A = 80°. Use a lei dos senos para BB e depois calcule cc.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1
    Show solution
    Lei dos senos: sin⁡B=bsin⁡A/a=8sin⁡80°/12≈0,6565⇒B≈41,04°\sin B = b \sin A/a = 8 \sin 80°/12 \approx 0{,}6565 \Rightarrow B \approx 41{,}04°. C=180°−80°−41,04°≈58,96°C = 180° - 80° - 41{,}04° \approx 58{,}96°. c=asin⁡C/sin⁡A≈12sin⁡58,96°/sin⁡80°≈12,11c = a \sin C/\sin A \approx 12 \sin 58{,}96°/\sin 80° \approx 12{,}11.
  17. Ex. 15.17Application

    Triângulo ABCABC: a=4a = 4, b=5b = 5, c=6c = 6. Calcule a área pela fórmula de Heron.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2
    Show solution
    Heron: s=(4+5+6)/2=7,5s = (4+5+6)/2 = 7{,}5. Área =7,5⋅3,5⋅2,5⋅1,5=98,4375≈9,92= \sqrt{7{,}5 \cdot 3{,}5 \cdot 2{,}5 \cdot 1{,}5} = \sqrt{98{,}4375} \approx 9{,}92.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Calcule o semi-perímetro. s=(a+b+c)/2=15/2=7,5s = (a+b+c)/2 = 15/2 = 7{,}5.
    2. Calcule cada termo. s−a=3,5s-a = 3{,}5, s−b=2,5s-b = 2{,}5, s−c=1,5s-c = 1{,}5.
    3. Aplique Heron. Área =s(s−a)(s−b)(s−c)=7,5⋅3,5⋅2,5⋅1,5= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{7{,}5 \cdot 3{,}5 \cdot 2{,}5 \cdot 1{,}5}.
    4. Calcule. =98,4375≈9,92= \sqrt{98{,}4375} \approx 9{,}92.

    Atalho: Heron evita ter que achar ângulos. Quando você só tem os 3 lados, é a fórmula mais rápida.

  18. Ex. 15.18Application

    Em um triângulo equilátero de lado ℓ\ell, mostre via lei dos cossenos que cada ângulo é 60°60°.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §11.3
    Show solution
    Para qualquer ângulo do equilátero (lados todos iguais a ℓ\ell): cos⁡C=(ℓ2+ℓ2−ℓ2)/(2ℓ2)=1/2⇒C=60°\cos C = (\ell^2 + \ell^2 - \ell^2)/(2\ell^2) = 1/2 \Rightarrow C = 60°.
  19. Ex. 15.19ApplicationAnswer key

    Triângulo com lados 7,24,257, 24, 25. Verifique que é retângulo via lei dos cossenos.

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2
    Show solution
    cos⁡C=(49+576−625)/(2⋅7⋅24)=0/336=0⇒C=90°\cos C = (49 + 576 - 625)/(2 \cdot 7 \cdot 24) = 0/336 = 0 \Rightarrow C = 90°. Confirma Pitágoras: 72+242=49+576=625=2527^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2.
  20. Ex. 15.20UnderstandingAnswer key

    Quando C→0C \to 0, a lei dos cossenos c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C tende a quê? Interprete geometricamente.

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    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §11.3
    Show solution
    Quando C→0C \to 0, cos⁡C→1\cos C \to 1. c2→a2+b2−2ab=(a−b)2⇒c→∣a−b∣c^2 \to a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2 \Rightarrow c \to |a-b|. Geometricamente: os dois lados se sobrepõem na mesma direção.
  21. Ex. 15.21ModelingAnswer key

    Você caminha 5 km a leste, depois vira 60°60° ao norte e anda mais 3 km. Distância da origem?

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    Solve onlineOpenStax University Physics Vol. 1 · cap. 2
    Show solution
    O ângulo interno do triângulo formado é 180°−60°=120°180° - 60° = 120° (desvio do caminho). d2=25+9−30cos⁡120°=34+15=49⇒d=7d^2 = 25 + 9 - 30\cos 120° = 34 + 15 = 49 \Rightarrow d = 7 km.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Modelar como triângulo. Os dois trechos formam um triângulo com a linha "origem-destino" como terceiro lado.
    2. Calcular o ângulo interno. Caminhante muda direção de 60°. O ângulo entre os dois trechos no vértice intermediário é o suplementar: 180°−60°=120°180° - 60° = 120°.
    3. Aplicar lei dos cossenos. d2=52+32−2⋅5⋅3⋅cos⁡120°=25+9−30⋅(−1/2)=49d^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cdot \cos 120° = 25 + 9 - 30 \cdot (-1/2) = 49.
    4. Extrair raiz. d=7d = 7 km.

    Macete: ângulo de "viragem" no caminho ≠ ângulo interno do triângulo. Sempre converta via suplementar.

  22. Ex. 15.22Modeling

    Um navio sai do porto, navega 12 km a noroeste, depois 8 km a nordeste. Distância da origem?

    Solve onlineOpenStax University Physics Vol. 1 · cap. 2
    Show solution
    Noroeste e nordeste fazem entre si 90°90°. Pitágoras: d=144+64=208≈14,42d = \sqrt{144 + 64} = \sqrt{208} \approx 14{,}42 km.
  23. Ex. 15.23ModelingAnswer key

    Um drone observa dois pontos AA e BB no chão sob ângulos de elevação 50°50° e 70°70° (mesma linha radial). Drone a 200200 m de altura. Calcule ABAB.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1
    Show solution
    Distância horizontal de cada ponto ao pé do drone: dA=200/tan⁡50°≈167,82d_A = 200/\tan 50° \approx 167{,}82 m e dB=200/tan⁡70°≈72,79d_B = 200/\tan 70° \approx 72{,}79 m. Se A e B estão alinhados na vertical sob o drone (mesma linha radial), AB=∣dA−dB∣≈95,03AB = |d_A - d_B| \approx 95{,}03 m.
  24. Ex. 15.24Modeling

    Dois lados de um terreno triangular medem 8080 m e 100100 m, formando ângulo de 75°75° entre eles. Comprimento do terceiro lado?

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    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §11.3
    Show solution
    c2=802+1002−2⋅80⋅100⋅cos⁡75°≈6400+10000−16000⋅0,2588≈12259⇒c≈110,72c^2 = 80^2 + 100^2 - 2 \cdot 80 \cdot 100 \cdot \cos 75° \approx 6400 + 10000 - 16000 \cdot 0{,}2588 \approx 12259 \Rightarrow c \approx 110{,}72 m.
  25. Ex. 15.25Modeling

    Em um campo de futebol, um atacante chuta da posição que vê o gol de 66 metros sob ângulo de 20°20°. Estime a distância gol-atacante (suponha o ângulo simétrico).

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1
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    Aproximação: o gol de 6 m é a base do triângulo isósceles cujo vértice oposto está no atacante. tan⁡(10°)=3/d⇒d=3/tan⁡10°≈17,01\tan(10°) = 3/d \Rightarrow d = 3/\tan 10° \approx 17{,}01 m. (Metade do ângulo total porque o triângulo é simétrico.)
  26. Ex. 15.26Modeling

    Topografia: meça ABAB entre dois pontos separados por um rio. Você está em CC, com ACB^=60°\hat{ACB} = 60°, AC=50AC = 50 m, BC=70BC = 70 m. Distância ABAB?

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    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2
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    AB2=502+702−2⋅50⋅70cos⁡60°=2500+4900−3500=3900⇒AB=3900≈62,45AB^2 = 50^2 + 70^2 - 2 \cdot 50 \cdot 70 \cos 60° = 2500 + 4900 - 3500 = 3900 \Rightarrow AB = \sqrt{3900} \approx 62{,}45 m.
  27. Ex. 15.27Modeling

    Astronomia: paralaxe estelar de 11 arc-segundo corresponde a 11 parsec ≈206 265\approx 206\,265 UA. Confirme via tan⁡(1′′)⋅d=1\tan(1'') \cdot d = 1 UA.

    Solve onlineOpenStax University Physics Vol. 1 · cap. 2
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    1′′=1/36001'' = 1/3600 graus =π/(180⋅3600)= \pi/(180 \cdot 3600) rad. Para ângulo pequeno, tan⁡x≈x\tan x \approx x: d=1/tan⁡(1′′)≈1/(π/648000)≈206 265d = 1/\tan(1'') \approx 1/(\pi/648000) \approx 206\,265 UA.
  28. Ex. 15.28Modeling

    Um triângulo de irrigação tem lados 100100 m, 120120 m e 8080 m. Calcule a área.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.2
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    Heron: s=(100+120+80)/2=150s = (100+120+80)/2 = 150. Área =150⋅50⋅30⋅70=15 750 000≈3 968,63= \sqrt{150 \cdot 50 \cdot 30 \cdot 70} = \sqrt{15\,750\,000} \approx 3\,968{,}63 m².
  29. Ex. 15.29Modeling

    Cinemática inversa: braço robótico com 2 segmentos ℓ1=30\ell_1 = 30 cm e ℓ2=25\ell_2 = 25 cm precisa alcançar um ponto a distância r=40r = 40 cm. Ângulo entre os segmentos?

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    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §11.3
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    O triângulo tem lados 30,25,4030, 25, 40 e o ângulo entre os segmentos é o ângulo do triângulo oposto a 40. cos⁡θ=(900+625−1600)/(1500)=−75/1500=−0,05⇒θ≈92,87°\cos\theta = (900 + 625 - 1600)/(1500) = -75/1500 = -0{,}05 \Rightarrow \theta \approx 92{,}87°. Mas convenção robótica costuma medir o ângulo "interno" entre os segmentos como suplementar — verifique a convenção do problema.
  30. Ex. 15.30ModelingAnswer key

    Velocidade resultante de barco 55 km/h em rio com correnteza 33 km/h perpendicular: módulo e ângulo?

    Solve onlineOpenStax University Physics Vol. 1 · cap. 2
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    Componentes perpendiculares: Pitágoras direto. ∣v∣=52+32=34≈5,83|v| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34} \approx 5{,}83 km/h. Ângulo: θ=arctan⁡(3/5)≈30,96°\theta = \arctan(3/5) \approx 30{,}96°.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Modelar. O barco aponta numa direção e o rio empurra perpendicularmente. As duas velocidades são vetores ortogonais.
    2. Magnitude. Como o ângulo entre os vetores é 90°, lei dos cossenos vira Pitágoras: ∣v∣2=52+32=34⇒∣v∣=34≈5,83|v|^2 = 5^2 + 3^2 = 34 \Rightarrow |v| = \sqrt{34} \approx 5{,}83 km/h.
    3. Ângulo de desvio. O desvio em relação ao rumo do barco satisfaz tan⁡θ=(correnteza)/(barco)=3/5\tan\theta = (\text{correnteza})/(\text{barco}) = 3/5.
    4. Calcular. θ=arctan⁡(3/5)≈30,96°\theta = \arctan(3/5) \approx 30{,}96°.

    Aplicação. Esse é o cálculo clássico de navegação fluvial: para chegar exatamente em frente, o barco precisa apontar contra a correnteza com ângulo de compensação arcsin⁡(correnteza/∣vbarco∣)\arcsin(\text{correnteza}/|v_{barco}|) — princípio idêntico ao "wind correction angle" da aviação.

  31. Ex. 15.31ModelingAnswer key

    Um avião viaja a 500500 km/h em rumo 60°60° NE. Vento sopra a 100100 km/h do leste. Estime a velocidade resultante.

    Solve onlineOpenStax University Physics Vol. 1 · cap. 2
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    Decomponha. Avião: vx=500cos⁡30°≈433,01v_x = 500\cos 30° \approx 433{,}01, vy=500sin⁡30°=250v_y = 500\sin 30° = 250 (rumo NE 60° = 30° acima do eixo leste). Vento "do leste" sopra para oeste: (−100,0)(-100, 0). Resultante: (333,01, 250)⇒∣v∣=333,012+2502≈416,53(333{,}01,\ 250) \Rightarrow |v| = \sqrt{333{,}01^2 + 250^2} \approx 416{,}53 km/h. (Resultado depende da convenção exata de "rumo 60° NE" — varia entre fontes.)
  32. Ex. 15.32Modeling

    Em GPS bidimensional, dois satélites em (0,100)(0, 100) e (50,80)(50, 80) km enxergam você sob ângulos 30°30° e 45°45°. Descreva (não calcule) a triangulação.

    Solve onlineOpenStax University Physics Vol. 1 · cap. 2
    Show solution
    A posição do receptor está na interseção de duas circunferências (uma para cada satélite, raio = distância calculada via lei dos senos a partir do ângulo de visada). Em geral, dois pontos de interseção; um terceiro satélite resolve a ambiguidade.
  33. Ex. 15.33Proof

    Demonstre a lei dos senos para triângulo agudo, usando a altura do vértice CC.

    OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §10.1
    Show solution
    Construa a altura hh de CC ao lado ABAB. No triângulo ACHACH retângulo: h=bsin⁡Ah = b \sin A. No triângulo BCHBCH retângulo: h=asin⁡Bh = a \sin B. Igualando: bsin⁡A=asin⁡B⇒a/sin⁡A=b/sin⁡Bb \sin A = a \sin B \Rightarrow a/\sin A = b/\sin B. Repetindo a construção de outro vértice prova-se que essa razão também iguala c/sin⁡Cc/\sin C.
  34. Ex. 15.34Proof

    Demonstre a lei dos cossenos para triângulo qualquer, usando produto escalar.

    Stitz-Zeager Precalculus · §11.3
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    Dado triângulo com vértices A,B,CA, B, C: AB⃗=CB⃗−CA⃗\vec{AB} = \vec{CB} - \vec{CA}. Tomando norma ao quadrado: ∣AB⃗∣2=∣CB⃗∣2+∣CA⃗∣2−2CB⃗⋅CA⃗|\vec{AB}|^2 = |\vec{CB}|^2 + |\vec{CA}|^2 - 2 \vec{CB} \cdot \vec{CA}. Como CB⃗⋅CA⃗=abcos⁡C\vec{CB} \cdot \vec{CA} = ab\cos C, vem c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Vetorize o triângulo. Coloque a origem em CC. Defina u⃗=CA⃗\vec u = \vec{CA} e v⃗=CB⃗\vec v = \vec{CB}, com ∣u⃗∣=b|\vec u| = b, ∣v⃗∣=a|\vec v| = a.
    2. Lado AB como diferença. AB⃗=v⃗−u⃗\vec{AB} = \vec v - \vec u, e ∣AB⃗∣=c|\vec{AB}| = c.
    3. Norma ao quadrado. ∣v⃗−u⃗∣2=(v⃗−u⃗)⋅(v⃗−u⃗)=∣v⃗∣2+∣u⃗∣2−2u⃗⋅v⃗|\vec v - \vec u|^2 = (\vec v - \vec u) \cdot (\vec v - \vec u) = |\vec v|^2 + |\vec u|^2 - 2 \vec u \cdot \vec v.
    4. Substitua o produto escalar. u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡C=abcos⁡C\vec u \cdot \vec v = |\vec u||\vec v|\cos C = ab\cos C.
    5. Conclusão. c2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C. ∎

    Observação: essa demonstração funciona em qualquer triângulo (agudo, obtuso, retângulo) sem precisar de altura — a álgebra vetorial absorve todos os casos.

  35. Ex. 15.35Proof

    Demonstre a fórmula de Heron usando a lei dos cossenos + área = 12absin⁡C\tfrac{1}{2} ab \sin C.

    Stitz-Zeager Precalculus · §11.3
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    Use Heron: Área =12absin⁡C= \tfrac{1}{2}ab\sin C. Eleve ao quadrado: 4⋅Aˊrea2=a2b2sin⁡2C=a2b2(1−cos⁡2C)4 \cdot \text{Área}^2 = a^2 b^2 \sin^2 C = a^2 b^2 (1 - \cos^2 C). Substitua cos⁡C=(a2+b2−c2)/(2ab)\cos C = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab) e fatore. Após álgebra (diferença de quadrados aplicada três vezes), aparece 16⋅Aˊrea2=(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)16 \cdot \text{Área}^2 = (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c). Isso é 16s(s−a)(s−b)(s−c)16 s(s-a)(s-b)(s-c) com s=(a+b+c)/2s = (a+b+c)/2. Daí Heron.

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

  • Algebra and Trigonometry 2e — Jay Abramson et al. (OpenStax) · 2022, 2ª ed · EN · CC-BY 4.0 · §10.1–10.2: leis dos senos e cossenos. Fonte primária.
  • Precalculus / College Algebra / Trigonometry — Carl Stitz, Jeff Zeager · 2013, v3 · EN · CC-BY-NC-SA · §11.2–11.3: triângulos não-retângulos.
  • University Physics Vol. 1 — OpenStax · 2016 · EN · CC-BY 4.0 · cap. 2: vetores e adição vetorial. Fonte primária do bloco C (modelagem).
  • Active Calculus — Matt Boelkins · 2024 · EN · CC-BY-NC-SA · §0.7: trigonometria aplicada.

Updated on 2026-05-04 · Author(s): Clube da Matemática

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