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Lição 37 — Permutações e arranjos

Permutação total Pn = n!. Arranjo A(n,p). Quando a ordem importa.

Used in: 1.º ano EM (15 anos) · Equiv. Math A japonês · Equiv. Klasse 10 alemã

Pn=n!,Anp=n!(n−p)!P_n = n!, \qquad A_n^p = \frac{n!}{(n-p)!}

Permutação de n objetos: n!n! formas de ordená-los. Arranjo: ordenar p objetos selecionados de n totais — n!/(n−p)!n!/(n-p)!. Em ambos, a ordem importa.

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Rigorous notation, full derivation, hypotheses

Definições e demonstrações

Fatorial

"Definimos o fatorial de nn como n!=n(n−1)(n−2)⋯2⋅1n! = n(n-1)(n-2) \cdots 2 \cdot 1 para n≥1n \geq 1, e 0!=10! = 1." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.7

Crescimento de fatorial:

nn!ordem de grandeza5120centenas103 628 800milhões202,4 × 10¹⁸quintilhões528 × 10⁶⁷mais que átomos no universo170overflow em float64

Crescimento superexponencial de n!. Aproximação de Stirling: n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ.

Permutação simples

Permutação com repetição

Para nn objetos com n1n_1 do tipo 1, n2n_2 do tipo 2, ..., nkn_k do tipo kk (com n1+n2+⋯+nk=nn_1 + n_2 + \cdots + n_k = n):

Pnn1,n2,…,nk=n!n1!⋅n2!⋯nk!P_n^{n_1, n_2, \ldots, n_k} = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdots n_k!}
what this means · Divide-se por n_i! porque trocar elementos iguais do tipo i entre si não gera nova configuração.

Anagramas de "ARARA" (3 A's, 2 R's): 5!/(3!⋅2!)=105!/(3! \cdot 2!) = 10.

"O número de permutações distinguíveis de nn objetos onde existem n1n_1 objetos idênticos do tipo 1, n2n_2 do tipo 2, ..., e nrn_r do tipo rr, é n!n1!n2!⋯nr!\frac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_r!}." — OpenStax Algebra and Trigonometry 2e, §11.7

Arranjo simples

Permutação circular

nn objetos em círculo: (n−1)!(n-1)!. Razão: a "primeira posição" é arbitrária — girar todos juntos não gera nova configuração. Formalmente: fixe um objeto em uma posição; os outros n−1n-1 permutam livremente.

Exemplos resolvidos

Exercise list

46 exercises · 11 with worked solution (25%)

Application 32Understanding 4Modeling 8Challenge 1Proof 1
  1. Ex. 37.1Application

    Calcule 5!5!.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.7
    Show solution
    Por definição, 5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=1205! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120.
  2. Ex. 37.2Application

    Calcule 8!/5!8!/5!.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.7
    Show solution
    Cancelando o fator comum: 8!/5!=8⋅7⋅6=3368!/5! = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336.
    Show step-by-step (with the why)
    1. O que é pedido? Um quociente de fatoriais — sem precisar expandir os dois.
    2. Reescrever: 8!=8⋅7⋅6⋅5!8! = 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!. O 5!5! aparece no numerador e denominador.
    3. Cancelar: 8!/5!=8⋅7⋅68!/5! = 8 \cdot 7 \cdot 6.
    4. Multiplicar: 8⋅7=568 \cdot 7 = 56, depois 56⋅6=33656 \cdot 6 = 336.

    Macete: nunca expanda o fatorial maior; cancele o menor primeiro.

  3. Ex. 37.3ApplicationAnswer key

    Quantos anagramas de "MAR" existem?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    "MAR" tem 3 letras distintas: P3=3!=6P_3 = 3! = 6.
  4. Ex. 37.4Application

    Quantos anagramas de "CASA" existem?

    Wikilivros Matemática elementar
    Show solution
    "CASA" tem 4 letras com 1 repetição (2 A's): P42=4!/2!=12P_4^{2} = 4!/2! = 12.
  5. Ex. 37.5Application

    Quantos anagramas de "MISSISSIPPI" existem?

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.7 Example 12
    Show solution
    11 letras com 4 I's, 4 S's, 2 P's, 1 M: 11!/(4!⋅4!⋅2!)=39 916 800/1 152=34 65011!/(4! \cdot 4! \cdot 2!) = 39\,916\,800/1\,152 = 34\,650.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Contar letras: M-I-S-S-I-S-S-I-P-P-I → 1 M, 4 I, 4 S, 2 P (total 11).
    2. Aplicar fórmula: P111,4,4,2=11!/(1!⋅4!⋅4!⋅2!)P_{11}^{1,4,4,2} = 11!/(1! \cdot 4! \cdot 4! \cdot 2!).
    3. Calcular numerador: 11!=39 916 80011! = 39\,916\,800.
    4. Calcular denominador: 1⋅24⋅24⋅2=1 1521 \cdot 24 \cdot 24 \cdot 2 = 1\,152.
    5. Dividir: 39 916 800/1 152=34 65039\,916\,800/1\,152 = 34\,650.

    Macete: sempre conte multiplicidade primeiro — erros nascem aí.

  6. Ex. 37.6ApplicationAnswer key

    Calcule A53A_5^3.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.7
    Show solution
    Arranjo: A53=5!/(5−3)!=5⋅4⋅3=60A_5^3 = 5!/(5-3)! = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60.
  7. Ex. 37.7Application

    Calcule A82A_8^2.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.7
    Show solution
    A82=8⋅7=56A_8^2 = 8 \cdot 7 = 56.
  8. Ex. 37.8ApplicationAnswer key

    Quantas filas de 4 pessoas podem ser feitas com 7 candidatos?

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §9.5
    Show solution
    Arranjo de 7 candidatos tomados 4 a 4: A74=7⋅6⋅5⋅4=840A_7^4 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840.
  9. Ex. 37.9Application

    Premiação 1.º, 2.º, 3.º entre 12 atletas. Quantos pódios distintos são possíveis?

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.7
    Show solution
    Pódio = arranjo: A123=12⋅11⋅10=1 320A_{12}^3 = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1\,320.
  10. Ex. 37.10Application

    Quantos números de 3 dígitos distintos podem ser formados com {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\}?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    Arranjo de 5 algarismos tomados 3 a 3: A53=5⋅4⋅3=60A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60.
  11. Ex. 37.11ApplicationAnswer key

    Verifique a igualdade 7!/(7−3)!=7⋅6⋅57!/(7-3)! = 7 \cdot 6 \cdot 5.

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.7
    Show solution
    7!/(7−3)!=7!/4!=7⋅6⋅5⋅4!/4!=7⋅6⋅5=2107!/(7-3)! = 7!/4! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!/4! = 7 \cdot 6 \cdot 5 = 210. Verificado.
  12. Ex. 37.12Application

    Resolva n!=720n! = 720.

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    6!=7206! = 720. Logo n=6n = 6.
  13. Ex. 37.13Application

    Resolva An2=30A_n^2 = 30 para n∈Nn \in \mathbb{N}.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §9.5
    Show solution
    An2=n(n−1)=30A_n^2 = n(n-1) = 30 dá n2−n−30=0n^2 - n - 30 = 0, raízes n=6n = 6 ou n=−5n = -5. Como n∈Nn \in \mathbb{N}, vale n=6n = 6.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Expandir o arranjo: An2=n!/(n−2)!=n(n−1)A_n^2 = n!/(n-2)! = n(n-1).
    2. Equação: n(n−1)=30⇒n2−n−30=0n(n-1) = 30 \Rightarrow n^2 - n - 30 = 0.
    3. Bhaskara: n=(1±1+120)/2=(1±11)/2n = (1 \pm \sqrt{1 + 120})/2 = (1 \pm 11)/2.
    4. Filtrar: raízes 6 e −5-5; descarte negativa.
    5. Verificar: A62=6⋅5=30A_6^2 = 6 \cdot 5 = 30.

    Macete: equações em fatorial sempre viram polinomiais — não tente brute-force.

  14. Ex. 37.14ApplicationAnswer key

    Quantos anagramas de "CIDADE" existem?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    "CIDADE" tem 6 letras com 2 D's repetidos: 6!/2!=720/2=3606!/2! = 720/2 = 360.
  15. Ex. 37.15Application

    Quantos anagramas de "BANANA" existem?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    "BANANA": 6 letras com 3 A's e 2 N's: 6!/(3!⋅2!)=720/12=606!/(3! \cdot 2!) = 720/12 = 60.
  16. Ex. 37.16ApplicationAnswer key

    Quantas senhas de 5 dígitos diferentes podem ser formadas com algarismos {0,1,…,9}\{0, 1, \ldots, 9\}?

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.7
    Show solution
    Arranjo de 10 algarismos tomados 5 a 5: A105=10⋅9⋅8⋅7⋅6=30 240A_{10}^5 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 30\,240.
  17. Ex. 37.17Application

    De quantas formas 6 livros distintos podem ser dispostos em 3 prateleiras (2 em cada), considerando a ordem dentro de cada prateleira?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    Como cada prateleira recebe 2 livros e a ordem importa, ordenamos os 6 livros distintos em 6 posições: 6!=7206! = 720.
  18. Ex. 37.18Application

    8 pessoas em mesa redonda. Quantas configurações distintas?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    Permutação circular: (8−1)!=7!=5 040(8-1)! = 7! = 5\,040.
  19. Ex. 37.19Understanding

    Justifique por que a permutação circular de nn pessoas é (n−1)!(n-1)! e não n!n!.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBook of Proof · §3
    Show solution
    Em mesa redonda, rotações geram a mesma configuração. Há nn rotações por configuração linear, então o total é n!/n=(n−1)!n!/n = (n-1)!. A opção A descreve corretamente o raciocínio; C e D confundem permutação circular com colares (onde reflexão também conta).
  20. Ex. 37.20Application

    Quantos anagramas de "AMOR" começam pela letra A?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    Fixando A na primeira posição, restam 3 letras (M, O, R) para permutar nas 3 posições seguintes: 3!=63! = 6.
  21. Ex. 37.21Application

    Quantos anagramas de "MATEMATICA" existem?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    "MATEMATICA" tem 10 letras: 3 A, 2 M, 2 T, 1 E, 1 I, 1 C: 10!/(3!⋅2!⋅2!)=3 628 800/24=151 20010!/(3! \cdot 2! \cdot 2!) = 3\,628\,800/24 = 151\,200.
  22. Ex. 37.22Application

    Quantos anagramas de "PROVA" começam por consoante?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    "PROVA" tem 5 letras distintas. Consoantes: P, R, V (3). Fixe consoante na 1ª posição (3 escolhas) e permute as 4 restantes: 3⋅4!=723 \cdot 4! = 72.
  23. Ex. 37.23Application

    Anagramas de "AMOR" com A e O juntos nesta ordem (bloco "AO" indivisível).

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    Trate "AO" como um bloco fixo nessa ordem. Sobram 3 itens (bloco + M + R): 3!=63! = 6.
  24. Ex. 37.24ApplicationAnswer key

    10 alunos vão sentar em 10 cadeiras enfileiradas. 2 amigos querem ficar juntos. Quantas configurações?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    Bloco de 2 amigos = 1 elemento. Sobram 9 elementos: 9!9!. Trocas internas no bloco: 2!2!. Total: 2⋅9!=2⋅362 880=725 7602 \cdot 9! = 2 \cdot 362\,880 = 725\,760.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Identificar restrição: 2 amigos juntos → trate como bloco único.
    2. Permutar blocos: bloco + 8 outros = 9 itens em fila linear: 9!=362 8809! = 362\,880.
    3. Permutar dentro do bloco: 2 amigos podem trocar de lugar: 2!=22! = 2.
    4. Multiplicar: 9!⋅2=725 7609! \cdot 2 = 725\,760.

    Macete: "tem que ficar junto" → bloco único. Não esqueça do 2!2! interno.

  25. Ex. 37.25Application

    8 pessoas em mesa redonda; 2 querem ficar juntas. Quantas configurações?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    Bloco de 2 amigos = 1 elemento. Em mesa redonda com 7 itens (bloco + 6 outros): (7−1)!=720(7-1)! = 720. Permutação interna do bloco: 2!2!. Total: 2⋅720=1 4402 \cdot 720 = 1\,440.
  26. Ex. 37.26Application

    Anagramas de "LIVRO" que começam por vogal.

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    "LIVRO" tem 5 letras distintas. Vogais: I, O (2). Fixe vogal na 1ª posição (2 escolhas) e permute 4 restantes: 2⋅4!=482 \cdot 4! = 48.
  27. Ex. 37.27ApplicationAnswer key

    Quantos números de 4 dígitos distintos podem ser formados com algarismos {1,…,9}\{1, \ldots, 9\}?

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.7
    Show solution
    Arranjo de 9 algarismos tomados 4 a 4: A94=9⋅8⋅7⋅6=3 024A_9^4 = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 = 3\,024.
  28. Ex. 37.28Application

    Quantos números pares de 4 dígitos distintos podem ser formados com algarismos {1,2,3,4,5}\{1, 2, 3, 4, 5\}?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    Último dígito (par): 2 ou 4 (2 opções). Os outros 3 dígitos são arranjos dos 4 restantes: A43=4⋅3⋅2=24A_4^3 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24. Total: 2⋅24=482 \cdot 24 = 48.
  29. Ex. 37.29Application

    Resolva n!/(n−3)!=60n!/(n-3)! = 60 para n∈Nn \in \mathbb{N}.

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §9.5
    Show solution
    n!/(n−3)!=n(n−1)(n−2)=60n!/(n-3)! = n(n-1)(n-2) = 60. Testando n=5n = 5: 5⋅4⋅3=605 \cdot 4 \cdot 3 = 60. Conferido.
  30. Ex. 37.30Application

    Resolva (n+1)!/n!=5(n+1)!/n! = 5.

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    (n+1)!/n!=n+1=5⇒n=4(n+1)!/n! = n + 1 = 5 \Rightarrow n = 4.
  31. Ex. 37.31Application

    Em uma corrida com 10 atletas, quantos pódios distintos (1.º, 2.º, 3.º) podem ocorrer?

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.7
    Show solution
    Pódio = arranjo de 10 atletas tomados 3 a 3: A103=10⋅9⋅8=720A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720.
  32. Ex. 37.32Application

    Quantos anagramas de "FATORIAL" existem (todas as letras distintas)?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    "FATORIAL" tem 8 letras todas distintas: 8!=40 3208! = 40\,320.
  33. Ex. 37.33Application

    Cinco cartas escolhidas e ordenadas em fila de 7 cartas distintas — quantas configurações?

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.7
    Show solution
    Arranjo: A75=7!/(7−5)!=7!/2!=5 040/2=2 520A_7^5 = 7!/(7-5)! = 7!/2! = 5\,040/2 = 2\,520.
  34. Ex. 37.34Understanding

    Verifique a recorrência Anp=n⋅An−1p−1A_n^p = n \cdot A_{n-1}^{p-1} para n=6,p=3n = 6, p = 3.

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineBook of Proof · §3.3
    Show solution
    Para n=6,p=3n=6, p=3: lado esquerdo A63=6⋅5⋅4=120A_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120. Lado direito 6⋅A52=6⋅5⋅4=1206 \cdot A_5^2 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120. Confere. A recorrência vale em geral: escolhendo o 1.º elemento de nn opções e arranjando os restantes p−1p-1 de n−1n-1 elementos.
  35. Ex. 37.35Modeling

    Time de futebol: 11 jogadores ocupam 11 posições distintas em campo. Quantas escalações com posicionamento existem?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    11 jogadores em 11 posições distintas é uma permutação simples: P11=11!=39 916 800P_{11} = 11! = 39\,916\,800.
  36. Ex. 37.36Modeling

    Senhas com 8 caracteres alfabéticos minúsculos sem repetição. Quantas senhas distintas existem?

    Solve onlineOpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.7
    Show solution
    Sem repetição: arranjo de 26 letras tomadas 8 a 8: A268=26⋅25⋅24⋅23⋅22⋅21⋅20⋅19≈6,3×1010A_{26}^8 = 26 \cdot 25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19 \approx 6{,}3 \times 10^{10}.
  37. Ex. 37.37ModelingAnswer key

    Em logística, qual é o número de ordens possíveis para entregar 10 pacotes distintos a 10 destinos?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    Cada rota é uma permutação: 10!=3 628 80010! = 3\,628\,800 rotas possíveis. Em logística real, heurísticas encontram a melhor rota sem enumerar todas.
  38. Ex. 37.38Modeling

    Em jogo de cartas, quantas configurações distintas de um baralho de 52 cartas existem após um embaralhamento?

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §9.5
    Show solution
    Embaralhamento = permutação completa: 52!≈8,07×106752! \approx 8{,}07 \times 10^{67} — mais que as estimativas do número de átomos no universo observável. É praticamente impossível que um embaralhamento aleatório repita uma configuração já vista.
  39. Ex. 37.39Modeling

    Em DNA, sequência de 8 bases (A, T, C, G) onde cada base aparece exatamente 2 vezes. Quantas sequências distintas existem?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    Permutação com repetição: 8 bases com cada base aparecendo 2 vezes: 8!/(2!)4=40 320/16=2 5208!/(2!)^4 = 40\,320/16 = 2\,520.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Total de letras: 8 (A, T, C, G — 2 de cada).
    2. Fórmula: P82,2,2,2=8!/(2!⋅2!⋅2!⋅2!)P_8^{2,2,2,2} = 8!/(2! \cdot 2! \cdot 2! \cdot 2!).
    3. Numerador: 8!=40 3208! = 40\,320.
    4. Denominador: (2!)4=24=16(2!)^4 = 2^4 = 16.
    5. Resultado: 40 320/16=2 52040\,320/16 = 2\,520.

    Curiosidade: em bioinformática, enumerar sequências assim aparece no desenho de primers de PCR.

  40. Ex. 37.40Modeling

    Em genética populacional, quantas ordens possíveis existem para ordenar 4 alelos distintos em uma cadeia?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    Permutação simples de 4 alelos distintos: 4!=244! = 24.
  41. Ex. 37.41Modeling

    Em aprendizado de máquina, a permutation feature importance embaralha uma feature sobre NN amostras e mede queda na predição. Quantas permutações possíveis existem de NN amostras?

    Solve onlineStitz-Zeager Precalculus · §9.5
    Show solution
    Para uma feature shuffle sobre NN amostras, há N!N! permutações possíveis. Em prática usa-se um número fixo (e.g., 100 shuffles) e mede-se queda média na predição.
  42. Ex. 37.42Modeling

    Em computação gráfica, quantas ordens de renderização existem para 100 polígonos?

    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    Em CG, cada ordem de renderização de 100 polígonos é uma permutação: 100!100! ordenações possíveis. Em prática, usa-se back-to-front sort (só uma ordem correta pra cada ângulo de câmera).
  43. Ex. 37.43Understanding

    Demonstre que Anp=n⋅An−1p−1A_n^p = n \cdot A_{n-1}^{p-1}.

    Book of Proof · §3.3
    Show solution
    Para construir um arranjo AnpA_n^p, escolha o primeiro elemento de nn opções; sobram n−1n-1 elementos para arranjar em p−1p-1 posições, dando An−1p−1A_{n-1}^{p-1}. Logo Anp=n⋅An−1p−1A_n^p = n \cdot A_{n-1}^{p-1}.
    Show step-by-step (with the why)
    1. Algebricamente: Anp=n!/(n−p)!A_n^p = n!/(n-p)!.
    2. Reescrever: n!=n⋅(n−1)!n! = n \cdot (n-1)!.
    3. Substituir: Anp=n⋅(n−1)!/((n−1)−(p−1))!=n⋅An−1p−1A_n^p = n \cdot (n-1)!/((n-1)-(p-1))! = n \cdot A_{n-1}^{p-1}.
    4. Interpretação combinatória: escolher 1.ª posição entre nn, depois arranjar restante.

    Macete: recorrências combinatórias quase sempre têm leitura "fixe o primeiro elemento e conte o resto".

  44. Ex. 37.44UnderstandingAnswer key

    Mostre que Pn=AnnP_n = A_n^n.

    OpenStax Algebra and Trigonometry 2e · §11.7
    Show solution
    Ann=n!/(n−n)!=n!/0!=n!/1=n!=PnA_n^n = n!/(n-n)! = n!/0! = n!/1 = n! = P_n. O arranjo de todos os $n$ elementos coincide com a permutação completa.
  45. Ex. 37.45Challenge

    Quantos anagramas de "AMOR" começam por consoante e terminam em vogal?

    Select the correct option
    Select an option first
    Solve onlineWikilivros Matemática elementar
    Show solution
    "AMOR": vogais A, O; consoantes M, R. Posição 1 = consoante (2 opções: M ou R). Posição 4 = vogal (2 opções: A ou O). Posições 2 e 3 recebem as 2 letras restantes em 2!=22! = 2 ordens. Total: 2×2×2=82 \times 2 \times 2 = 8. O distrator B (4) esquece permutar posições 2 e 3; D (24 = 4!) ignora as restrições.
  46. Ex. 37.46ProofAnswer key

    Demonstre que Anp=n!/(n−p)!A_n^p = n!/(n-p)! usando o Princípio Fundamental da Contagem.

    Book of Proof · §3.3
    Show solution
    Arranjo de pp objetos selecionados de nn: pelo PFC, 1.ª posição tem nn opções, 2.ª tem n−1n-1, ..., pp-ésima tem n−p+1n-p+1. Produto: n(n−1)⋯(n−p+1)n(n-1) \cdots (n-p+1). Multiplicando e dividindo por (n−p)!(n-p)!: n(n−1)⋯(n−p+1)⋅(n−p)!/(n−p)!=n!/(n−p)!n(n-1)\cdots(n-p+1) \cdot (n-p)!/(n-p)! = n!/(n-p)!.

Fontes

Apenas livros que alimentaram diretamente o texto e os exercícios.

Updated on 2026-05-05 · Author(s): Clube da Matemática

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